АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
На рис. 3 .7 представлены графики функции Г (і) для законов Вейбулла и гамма-распределения при условии равенства значений их математических ожиданий и параметров k (см. табл. 1.3) и иден-
r(t)
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3.7. |
Функция |
готовности |
Рис. 3.6. |
Зависимость параметров |
|
в |
случае |
распределения |
времени |
|
безотказной работы по закону Вей |
провала |
|
функции |
готовности от |
|
булла (кривая 1) |
и по закону гам |
коэффициента готовности. |
|
|
ма-распределения (кривая 2). |
|
тичности стратегий восстановления. Кривая |
1 соответствует закону |
Вейбулла, |
кривая |
2 — гамма-распределению . Таким |
|
образом, |
при |
распределении Вейбулла функция |
готовности имеет более глубокий |
га д |
|
|
|
|
провал |
по |
сравнению |
|
с гам м а-рас |
|
|
|
|
|
пределением. |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
П редставляет такж е интерес вли я |
|
|
|
|
|
ние длительности промежутка |
[^, t-\- |
|
|
|
|
|
+ s] на форму функции Г ( t, s). |
На |
|
|
|
|
|
рис. 3 .8 приведены кривые готовно |
|
|
|
|
|
сти |
системы |
при |
s = |
0, 1 , 2 , |
кото |
|
|
|
|
|
рые |
показы ваю т, |
что |
увеличение s |
|
|
|
|
|
влечет |
за собой не только снижение |
|
|
|
|
|
установивш егося |
значения |
Г (s), |
но |
|
|
|
|
|
такж е |
и увеличение провала А Г. |
|
Рис. 3.8. |
Зависимость |
поведения |
Анализ поведения функции готов |
ности |
при |
убывающей |
интенсивно |
функции Г (f, s) от |
величины про |
сти |
отказов позволяет |
|
учесть |
вли я |
|
|
межутка |
S. |
|
|
|
|
|
ние |
безотказности |
и |
принять |
необ |
|
|
|
|
|
ходимые |
меры по |
устранению |
провала |
функции |
готовности |
как |
на стадии проектирования, так и в процессе изготовления аппа ратуры.
ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ |
§ 3.4 |
ПРИ ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ
Нестационарность потока отказов аппаратуры может быть связана не только с процессом приработки, но такж е с процессом старения и износа. Если момент, когда этот процесс начинает проявляться,
ГЛАВА 3
известен, устройство заменяю т, не ожидая его отказа. Д л я особо ответственных узлов устанавливается определенный срок, после которого они заменяю тся. Однако нередко момент, после которого старение и износ начинают проявляться, заранее неизвестен, вслед ствие чего встречаю тся отказы , обусловленные этими явлениями.
При старении и износе интенсивность отказов является возра стающей функцией времени.
Условию возрастания интенсивности отказов отвечают закон Релея, нормальный закон и частные случаи законов Вейбулла и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гамма-распределения. В последнее |
|
|
|
время все чаще используется нор |
|
|
|
мальный закон распределения дли |
|
|
|
тельности безотказной работы. Это |
|
|
|
объясняется |
тем, |
что |
большинство |
|
|
|
систем проходит тренировку на за- |
|
|
|
воде-изготовителе |
и поступает в эк с |
|
|
|
плуатацию |
без |
явно |
|
выраженного |
|
|
|
участка приработки. При установив |
|
|
|
шемся режиме работы поток отка |
|
|
|
зов |
таких систем |
близок |
к простей |
|
|
|
шему. |
Отклонения от |
него обнару |
|
|
|
ж иваю тся только |
по истечении опре |
|
|
|
деленного |
промежутка |
|
времени |
в |
|
|
|
связи |
с появлением |
отказов из-за |
Рис. 3.9. Функция готовности си |
|
износа или |
старения |
элементов. |
Т а |
|
стемы |
с нормальным распределе |
|
кая |
модель |
описывается |
нормаль |
|
нием времени безотказной работы. |
|
ным законом распределения. Кроме |
|
|
|
|
того, |
нормальный |
закон |
удобно использовать при анализе надеж |
|
ности |
слож ны х |
систем, |
для которых характерен уход параметров |
|
элементов за допустимые пределы. |
|
|
|
|
Н а |
рис. 3 .9 |
показано поведение функции |
готовности двух систем |
с нормальным законом распределения длительности безотказной работы, у которых среднее время безотказной работы и среднее
время |
восстановления |
одни и те |
ж е, а среднеквадратичные |
откло |
нения |
различны. Как |
видно из |
рисунка, системы с малыми |
значе |
ниями среднеквадратичных отклонений имеют более выраженный провал' функции готовности, что является результатом концентра ции плотности отказов в небольших интервалах [кривая Г х (£)].
Усистем с большим значением среднеквадратичного отклонения
понижение |
функции готовности выражено менее |
четко [кривая |
Г 2 (і)], так |
как отказы распределены на больших |
промежутках и |
готовность вследствие этого при постоянных средних возм ож ностях ремонта уменьш ается незначительно.
Интенсивность отказа является возрастающ ей функцией времени в случае гамма-распределения при k > 1 (см. табл. 1.4). Следует отметить, что гамма-распределение при k > 1 наиболее удобно для описания процессов старения и износа. Этому ж е закону подчинено
АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
распределение времени безотказной работы избыточных систем, для которых характерна схема накапливаю щ ихся повреждений, а такж е резервированных систем с включением резерва по способу замещ е ния при условии, что потоки отказов основной и резервных систем простейшие [3 3 ]. И, наконец, простота преобразования Л апласа плотности распределения этого закона в сочетании с возможностью ис пользования его для представления эмпирических распределений обу
словливаю т |
широкое применение гамма-распределения на практике. |
Х арактер |
поведения функции готовности в случае гамма-распре |
деления при |
k = 2 и k = 3 показан на рис. 3 .10 [кривые Г 2 ( t) |
14t) |
ПО |
|
|
|
Рис. j|3.11. |
Функция |
готовности |
|
|
в случае распределения |
времени |
Рис. 3.10. Функция |
готовности |
безотказной |
работы |
по |
закону |
в случае Фамма-распределения вре |
|
Вейбулла. |
|
|
мени безотказной |
работы. |
/г3 > |
k2 > |
К“ = |
const. |
и Г\ ( t) соответственно]. На начальном участке функция готовности близка к вероятности безотказной работы, а затем без заметного провала асимптотически приближается к установивш емуся значению.
В последнее время наметилась тенденция во многих случаях использовать не экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы слож ны х систем, который иногда употребляется недостаточно обоснованно, а закон Вейбулла при k > 1 как наиболее точный и учитывающий процесс старения [2 2 ]. В частности, распре деление Вейбулла может быть использовано при ускоренных испы таниях элементов навигационной аппаратуры в форсированных режи мах. Кроме того, данное распределение с параметром k = 1,4 т-1,9 наблюдается у некоторых типов электронных ламп [3 3 ]. Распреде ление Вейбулла интересно еще и потому, что им можно аппроксими ровать, изменяя параметры, процессы приработки, нормальной
работы и старения аппаратуры . Поведение функции |
готовности |
при этом законе в зависимости от значений параметра |
k при К = |
= const показано на рис. 3 .11 .
Закон Релея удобен для описания распределения времени без отказной работы при интенсивном старении аппаратуры, когда отказы не удовлетворяю т условиям стационарного случайного про цесса. В частности, закону распределения, близкому к закону Релея, подчиняется время между отказами некоторых типов электровакуум ных приборов [3 3 ].
ГЛАВА 3
Д ля случая распределения длительности безотказной работы по закону Релея зависимость функции готовности и средней частоты
отказов |
с |
учетом |
восстановления |
от |
значения |
параметра а (см. |
табл. 1.3) при экспоненциальном |
а) |
|
|
|
|
восстановлении |
показана |
на |
рис. |
|
|
|
|
3 .12 . Более глубокий, но менее |
|
|
|
|
длительный |
провал |
функции |
Г (і) |
|
|
|
|
характерен для малых значений а. |
|
|
|
|
|
Таким образом, из анализа пове |
|
|
|
|
дения функции готовности аппара |
|
|
|
|
туры при возрастающ ей со време |
|
|
|
|
нем интенсивности ее отказов мо |
|
|
|
|
жно |
определить |
последовательность |
|
|
|
|
мероприятий, |
которые |
необходимо |
|
|
|
|
осущ ествить |
для |
устранения |
про |
|
|
|
|
вала функции готовности, что имеет |
|
|
|
|
сущ ественное значение для |
уникаль |
|
|
|
|
ных |
судовых |
систем, |
эксплуатируе |
|
|
|
|
мых и в период старения. |
|
|
|
|
|
|
|
ВЛИЯНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ |
§ 3.5 |
|
|
|
|
НА ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
|
|
|
ГОТОВНОСТИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При установивш емся режиме работы |
Рис. 3.12. Функция готовности (а) |
влияние |
свойства |
восстанавливае |
и средняя частота отказов с учетом |
мости на готовность системы оце |
восстановления (б) в случае рас |
нивается |
|
посредством |
выражения |
пределения |
времени |
безотказной |
(1 .51). При этом необходимо лишь |
|
|
работы по закону Релея. |
|
|
|
Оз < o z . |
знать |
среднее |
время |
восстановле |
|
|
|
ния |
Тв. |
В |
случае |
|
неустановивш егося |
режима |
работы |
системы |
появляется необходимость в оценке зависимости поведения |
функции |
готовности |
от |
вида |
закона |
распределения |
времени восстановления |
и его |
параметров. Х арактер |
распределения |
времени восстановления |
зависит от конструкции системы и возможностей ремонта. В част ности, если система сконструирована так, что ее узлы , часто вы ходя щие из строя, требуют небольшого времени ремонта по сравнению с узлами, редко отказывающ ими, то в этом случае в целом будет иметь место экспоненциальный или близкий к нему закон распреде
ления времени восстановления. Т а к , исследования |
некоторых авто |
ров |
показы ваю т [2 0 ], что функция распределения |
времени ремонта |
для |
многих видов радиоэлектронной аппаратуры близка к экспонен |
циальной, а именно применяется закон Вейбулла
R(t) = 1 — e-n<“ ,
где параметр а мало отличается от единицы.