ГЛАВА 4
для которых структура, оптимальная для одного отрезка времени, может оказаться неоптимальной для другого отрезка. В этом случае возникает потребность в периодическом изменении структуры си стемы для поддержания ее надежности на заданном уровне ценой наименьших затрат.
Рассмотрим в качестве иллюстрации следующую модель. Необ ходимо путем поэлементного резервирования обеспечить получение максимального значения функции готовности Г (t) системы, состоя щей из я включенных последовательно элементов. Под элементами системы будем понимать ее части, по отношению к которым можно принять гипотезу о статистической независимости отказов. Считаем далее, что потоки отказов основных элементов нестационарны в на
чальный период эксплуатации и, следовательно, |
нестационарен |
такж е поток отказов системы. |
|
|
|
Если оптимизацию производить для моментов времени, в которые |
функция готовности k-то элемента системы Г* (t), |
k |
= |
1 , 2 , . . ., я, |
t t (0 , оо) принимает минимальное значение, то в |
силу |
изученного |
ранее поведения функции Г (t) (см. рис. 3.2) в течение длительного времени, соответствую щ его установивш емуся режиму работы эле ментов, система будет иметь неоправданно излишнюю избыточность. Если ж е структуру оптимизировать по значению коэффициента го товности, то на некотором промежутке времени может оказаться, что Г (і)тп < Гдоп, а это недопустимо по условию задачи. Следовательно, период эксплуатации, для которого характерно непостоянство Гй ( t),
необходимо разбить |
на отдельные этапы длительностью т;, 1 = 1 , |
2 , . . ., и структуру |
оптимизировать поэтапно. |
Теперь задачу можно сформулировать следующим образом.
Найти такие компонент |
истемы я-мерных векторов |
М (п = (т{‘\ |
т\п, • • ■, |
|
1 = 1 ,2 , |
, |
которые максимизируют |
функционал |
вида |
|
Г (/) = |
m ax |
( П |
(яі//1)! > |
(4.6) |
|
m('>..... > |
|
|
|
где Г)/' (m[l)) — функция готовности |
k-и ступени |
резервирования |
на /-м этапе оптимизации структуры системы, в области, заданной соотношениями
We — S |
тк>піПЗа 0, |
1 = 1 , 2 , : . . |
(4.7) |
к= 1 |
|
|
|
П редставляет интерес |
и другая |
постановка этой |
ж е задачи: |
минимизировать суммарный вес системы |
Wz на 1-м этапе ее эксплуа- |
7 А. Г. Варжапетян |
97 |
МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ГОТОВНОСТИ
тации |
при условии, что значение функции готовности системы |
при |
t 6 (0, |
оо) и всех |
I будет не ниже заданного Г 0, т. е. найти |
|
|
W {!)= |
|
min |
( І и Ѵ |
и Н |
1 = 1 , 2 ............ |
(4.8) |
|
|
«} '> |
........ m (0 |
l*= 1 |
J |
|
|
где wkm{l) — вес k-k резервированной ступени на l-ы этапе оптими зации структуры системы в области, определяемой соотношениями
Г 0 - |
П Г І 'Ч т П ^ О , 1 = 1 , 2 , . . . |
(4.9) |
А= 1 |
|
Следует отметить, |
что оптимизация структуры |
по критерию |
Г (t, s) не имеет принципиальных особенностей по сравнению с опти мизацией по критерию Г ( t).
Рассматриваемые вопросы оптимизации структуры могут быть решены с помощью различных математических методов исследования операций, в частности путем использования метода неопределенных множителей Л агран ж а, метода наискорейшего спуска, метода дина мического программирования. В силу ряда преимуществ наиболее удобным является метод динамического программирования, позво ляющий находить все целочисленные оптимальные решения. Метод особенно эффективен при небольшом количестве компонентов, т. е. в тех случаях, когда резервирование производится на уровне круп ных блоков при небольшой кратности, что на практике обычно и имеет место.
Рассмотрим более детально максимизацию функционала (4.6), так как к этой задаче могут быть сведены многие часто встречающиеся
на практике ситуации. Обозначим функционал Г (/) в (4.6) через /дЯ. Тогда функциональное уравнение для решения данной задачи мето дом динамического программирования при ограничениях (4.7) будет иметь вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fW = |
m ax |
[ftihiw — wNm W ) r U) (wNmW)}, |
(4.10) |
|
|
|
0 г£ |
<Ш |
|
|
|
|
|
где |
/дг* — |
доминирующая |
последовательность |
значений |
функции |
готовности |
и |
веса |
соответствующ ей части системы |
на |
(N — 1 )-м |
ш аге |
I-го этапа оптимизации; |
Г (/) (i%mjvZ)) — |
функция |
готовности |
части |
системы, |
состоящ ей |
из |
элементов N -го типа. |
|
|
Д ля выбора оптимальной |
избыточной структуры |
в |
общем виде |
при нескольких ограничениях могут быть использованы различные алгоритмы [3, 3 2 ]. Приближенный алгоритм [3, стр. 62— 6 7 ] позво ляет перейти от задачи оптимизации при нескольких ограничениях к задаче оптимизации с одним искусственным ограничением. Объем
вычислительной |
работы в |
данном случае значительно |
сокращ ается |
по сравнению |
с точным |
алгоритмом [3 2 ]. Поэтому |
определение |
ГЛАВА 4
членов оптимальной последовательности на каждом ш аге оптимизации будем производить с помощью указанного приближенного алгоритма. Алгол-программа решения задачи оптимизации с использованием уравнения (4.10) приведена в приложении II. Программа составлена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
учетом |
того, |
что |
последовательность значений |
(Г (/) (шд/тдг')} |
|
определяется |
из выражения |
(1.35) |
с привлечением |
изложенного |
|
в § 2 .5 алгоритма численного решения (см. приложение I). Значе |
|
ния функций Р |
(t), а (t) и г ( t) вычисляю тся по формулам для резер |
|
вированных |
систем, |
например |
|
приведенным в |
[3 3 ]. |
|
|
|
|
|
Работу |
данного |
алгоритма |
иллюстрирует |
следую щ ая |
модель. |
|
|
Имеется |
некоторая |
система, |
|
|
|
|
|
|
|
представляю щ ая собой основное |
^ |
|
|
|
2 |
|
|
соединение трех подсистем, от- |
’ V . .________________ |
|
|
|
казы и ремонты которых вза- |
Г}„„ — |
--------_ L r= r--------- |
|
|
имно независимы. Функции го |
|
|
|
|
|
|
|
товности |
подсистем |
имеют |
вид, |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
изображенный |
|
на |
рис. |
3 .2 , |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в установивш емся режиме рав |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
ны |
соответственно |
krl |
= |
0,90, |
|
|
|
|
|
|
kr2 — 0,96, |
kr3 = |
0,86 . |
Ф унк |
|
|
|
|
|
|
|
ция готовности |
системы, |
если |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
не |
приняты |
специальные меры |
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
повышению |
надежности, |
0,5 |
|
|
го |
|
|
имеет |
весьма |
низкое значение |
|
10 |
Ьчч |
|
(рис. |
4 .1 , |
кривая |
1) |
и |
не по |
Рис. 4.1. Функция готовности неизбыточ |
|
стоянна |
во |
времени. |
Д ля |
по |
|
ной |
(кривая 1) и избыточной |
(кривая |
2) |
|
вышения |
надежности |
системы |
|
|
систем. |
|
|
|
|
имеется возмож ность исполь |
|
|
|
|
|
|
|
зовать нагруженное резервирование на уровне |
подсистем. |
О тказы |
|
основных |
и резервных |
подсистем распределены |
по одним и тем |
ж е |
законам . Врем я восстановления каждой подсистемы с учетом резервирования распределено по закону (3.9). Д ля более наглядной иллюстрации влияния формы участков приработки каждой из под систем на оптимальную структуру системы их веса взяты равными единице. Требуется выбрать такую кратность резервирования под систем, чтобы в течение всего времени эксплуатации, включающего периоды приработки и установивш ейся работы, система имела наи больший уровень готовности при суммарном весе, не превышающем 8 условных единиц. Очевидно, что не сущ ествует такой постоянной структуры, которая обеспечивала бы выполнение данного требо вания. Следовательно, задачу необходимо реш ать поэтапно, изме няя периодически значения компонент вектора М для достижения
|
|
|
|
|
|
требуемой готовности системы на каждом этапе. |
|
Рассмотренный |
выше |
алгоритм |
обеспечивает |
такое решение. |
В табл. 4 .2 представлена |
стратегия |
оптимального |
изменения стр ук |
туры системы, полученная в результате |
просчета приведенной мо |
дели по указанному |
алгоритму. Д есятый |
этап оптимизации доответ- |
МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности
Оптимальная стратегия изменения структуры системы |
|
Таб лица 4.2 |
|
|
по критерию |
(4.6) |
|
|
|
|
Кратность резервирования подсистем |
Коэффициент |
Номер этапа |
|
|
второй |
третьей |
готовности |
|
первой |
|
1 |
3 |
3 |
2 |
0,958 |
2 |
3 |
2 |
3 |
0,922 |
3 |
3 |
2 |
3 |
0,934 |
4 |
3 |
2 |
3 |
0,944 |
5 |
3 |
2 |
3 |
0,947 |
6 |
3 |
2 |
3 |
0,951 |
7 |
3 |
2 |
3 |
0,953 |
8 |
3 |
2 |
3 |
0,955 |
9 |
3 |
2 |
3 |
0,957 |
10 |
2 |
2 |
4 |
0,958 |
ствует установивш емуся состоянию системы. Это означает, что в даль нейшем структура не меняется и значение М = (2, 2, 4) является оптимальным для данного периода.
Алгоритм дает возможность решать такж е задачу оптимизации структуры системы с использованием уравнения (4.8) при ограни чениях (4 .9). Д л я иллюстрации этой задачи в условиях рассмотрен ного примера выбираем такую стратегию резервирования в течение
указанного |
ранее времени, чтобы система имела минимальный вес |
и при этом |
готовность ее была не ниже Г (t) — 0,91 . Оптимальное |
решение представлено в табл. 4 .3 , из которой следует, что минималь ный вес системы соответствует установивш емуся периоду эксплуа-
Оптимальная стратегия изменения структуры системы |
|
Т а б л и ц а 4.3 |
|
|
по критерию |
(4.8) |
|
|
|
|
|
Номер |
Кратность |
резервирования |
подсистем |
Суммарный |
Коэффициент |
|
|
|
|
этапа |
первой |
второй |
третьей |
вес |
готовности |
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
2 |
7 |
0,930 |
2 |
3 |
2 |
3 |
8 |
0,922 |
3 |
3 |
2 |
3 |
8 |
0,934 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
7 |
0,935 |
5 . |
2 |
|
2 |
3 |
7 |
0,925 |
6 |
2 |
|
2 |
3 |
7 |
0,928 |
7 |
2 |
|
2 |
3 |
7 |
0,932 |
8 |
2 |
■ |
2 |
3 |
7 |
0,934 |
9 |
2 |
- 2 |
3 |
7 |
0,936 |
10 |
2 |
|
1 |
3 |
6 |
0,938 |
ГЛАВА 4
тации, где М = (2, 1, 3). При такой структуре значение функции готовности системы в момент, соответствующ ий, например, началу 4-го этапа, было бы равно 0,785, что сущ ественно отличается от до пустимого Гдоп. Ф ункция готовности полученной системы изобра жена на рис. 4.1 (кривая 2).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ |
§ 4.3 |
МЕЖДУ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ГОТОВНОСТИ И СТОИМОСТИ
Внастоящ ее время успешно развивается экономический подход
коценке готовности технических устройств. Повышение готовности
вкаждом конкретном случае зависит от множества различных фак торов. Однако все сущ ествующ ие способы повышения готовности требуют для своего осущ ествления определенной затраты средств. Задача оптимизации структуры системы на основе экономических критериев предполагает знание математических зависимостей между функцией готовности аппаратуры и необходимыми для обеспечения
требуемого уровня готовности затратами. Обозначим через с (kr0, kr) функцию стоимости аппаратуры при повышении ее коэффициента
готовности от первоначального значения kr0 до |
значения kr. |
Ф ункция |
стоимости |
обладает |
следующими |
свойствами: |
1 ) |
с (kr0, |
kr) |
0 , так как стоимость всегда |
положительна; |
2 ) |
с (£ г0, |
1 ) = |
оо, т. е. разработка аппаратуры с коэффициентом |
готовности, |
равным единице, требует бесконечно больших затрат; |
3) |
с (/гг0, |
kr0) |
= |
с 0, |
где с 0 — |
стоимость аппаратуры с коэффи |
циентом готовности |
kro; |
|
|
4) |
с (£ г0, kr) не убывает по kT при фиксированном kr0 и не возра |
стает по krQ при фиксированном |
kr, потому что |
повышение коэффи |
циента готовности требует дополнительных затрат.
Указанными свойствами могут обладать многие функции, -в част
ности следующ ая зависимость |
[23, |
стр. 43; 2 5 ]: |
|
|
|
- |
< 4 - " > |
где kn0 — коэффициент простоя |
системы с первоначальным значе |
нием коэффициента готовности; |
kn — |
коэффициент простоя, соответ |
ствующий системе с повышенным значением коэффициента готов ности.
Параметром f можно характеризовать эффективность вложения средств для повышения готовности. Чем меньше /, тем меньше не обходимо затратить средств для достижения заданного уровня готов ности. Рассмотренная модель (4.11) выгодно отличается от других моделей тем, что она учитывает изменение стоимости системы в 'за висимости от изменения ее готовности, обусловленного изменением показателей безотказности и -восстанавливаем остіт-систем ы .
