МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности
Зависимость, аналогичная (4.23), справедлива и для вероятности безотказной работы:
|
С = Со( 1 + 1 о & £ £ ) , |
где Р и Р й — |
вероятности безотказной работы улучшенного и исход |
ного образцов |
соответственно. |
При экспоненциальном законе распределения времени безот казной работы от вероятности безотказной работы можно легко перейти к интенсивности отказов, получив еще один вид функции
стоимости |
|
|
|
c = |
Co( l + l o g f A ) . |
(4.25) |
Основание логарифма / |
имеет пределы О <С / <С 1 — Р 0 |
или для |
высоконадежных систем |
0 |
< / < Ы. |
|
Таким образом, рассматриваемый вид функции стоимости повы шения готовности (4.23) при надлежащем выборе параметра f доста точно хорошо характеризует реальные методы повышения готов ности и целесообразен для применения в расчетах по оптимизации готовности систем.
Из формулы (4.23) найдем зависимость коэффициента готовности от величины средств, затрачиваемых на его повышение. В этом сл у чае выражение для коэффициента готовности улучшенного образца
примет |
вид |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kr = 1 — (1~ у |
f С° |
|
|
(4.26) |
При |
/ = 1 — kr0 |
выражение (4.26) |
превращ ается |
в |
выражение |
для коэффициента готовности резервированной |
группы |
из т = — |
элементов при неограниченном восстановлении. |
|
Ч> |
|
|
Д л я |
исследования |
эффективности того или |
иного |
способа повы |
шения готовности необходимо показать, как изменяются количествен
ные характеристики готовности |
при применении данного |
метода. |
И сходя из |
выбранного |
критерия |
готовности и основных |
способов |
повышения |
готовности, |
можно записать |
|
|
kr — f {X, [д,, |
т, способ |
резервирования). |
(4.27) |
Ф ункция (4.27) позволяет рассмотреть влияние на коэффициент готовности как характеристик безотказности, так и характеристик ремонтопригодности.
В случае избыточных систем следует иметь в виду, что разнообра зие методов резервирования и способов включения резерва не позво ляю т установить однозначную свя зь между готовностью резерви рованных систем и стоимостью обеспечения этой готовности. Поэтому можно рассмотреть подход, заключающ ийся в том, что сначала
ГЛАВА 4
определяется среднее время безотказной работы при различных спо собах включения резерва и различных стратегиях восстановления, а затем определяется изменение уровня готовности как функции от показателей резервирования.
Д л я |
резервированных |
систем при нагруженном |
резервировании |
возможны два режима восстановления: |
|
|
|
|
|
|
1 ) с |
восстановлением |
|
отказавш их |
блоков |
после отказа |
всей |
резервированной системы; |
|
|
|
|
|
|
|
2 ) с |
восстановлением |
отказавш его |
блока |
сразу |
ж е |
после |
его |
отказа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
первого случая |
среднее время |
безотказной |
работы опреде |
ляется |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т ср іи пг |
__ І _ |
’ |
|
|
(4.28) |
|
|
m -j- i |
|
|
|
|
|
|
І=п |
|
|
|
|
|
|
где |
Tcp — среднее время |
безотказной |
работы |
основной |
системы; |
п — |
число блоков в резервированной системе; m — число исправных |
блоков, при котором резервированная система сохраняет свою рабо тоспособность.
Д ля второго |
случая |
т \ n — m+ 1 |
|
|
|
mCl |
(4.29) |
|
~Т„ |
где Т в — время |
восстановления |
отказавш ей системы. |
Проиллюстрируем сказанное на примере. П усть для навигацион ной вычислительной машины среднее время безотказной работы 50 я, а среднее время восстановления 7 я. Имеется возможность повысить готовность этой машины с помощью мажоритарного резер вирования, дублирования и дублирования с восстановлением в про цессе эксплуатации. Рассчитанные значения коэффициента готов ности и среднего времени безотказной работы для различных видов резервирования представлены в табл. 4 .4 .
Из табл. 4 .4 следует, что наилучшим из рассмотренных методов повышения готовности является резервирование с восстановлением в процессе эксплуатации резервированной системы. Однако реализа-
Таблица 4.4 Характеристики надежности и готовности резервированных систем
|
Вид резервирования |
п *4 |
*г |
Мажоритарное резервирование |
45 |
0,860 |
Дублирование |
80 |
0,920 |
» |
с восстановлением |
200 |
0,965 |
М Е Т О Д Ы П О В Ы Ш Е Н И Я Г О Т О В Н О С Т И
дня такого способа повышения готовности приводит к усложнению, а следовательно, и удорожанию системы. Кроме того, восстановле ние в процессе эксплуатации не всегда может быть реализовано по техническим причинам или в силу опасности выполнения восстано вительных работ при включенном состоянии резервных систем.
Анализ изменения коэффициента готовности нерезервированной и резервированной систем при улучшении ремонтопригодности показывает, что с повышением кратности резервирования возрастает эффективность улучшения ремонтопригодности как способа повыше ния готовности. Трудность получения стоимостной зависимости при этом не позволяет однозначно рекомендовать один из способов повышения готовности, а поэтому целесообразно определить методику получения их рационального сочетания для эффективного обеспече ния заданного уровня готовности.
АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ |
§ 4.4 |
РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ |
|
ПОВЫШЕНИЯ ГОТОВНОСТИ |
|
Задачу исследования эффективности различных способов повышения готовности можно свести к задаче сравнения оптимальных структур синтезируемой системы, полученных при применении допустимых способов повышения готовности. В этом случае решение поставлен
ной задачи будет осущ ествляться на |
основе двух алгоритмов: |
1 ) алгоритма нахождения оптимальных структур для различных |
способов |
повышения готовности; |
|
2 ) алгоритма мажорирования полученных оптимальных структур |
с целью |
получения результирующей |
оптимальной структуры . |
К ак |
уж е отмечалось ранее, задачу |
синтеза оптимальной струк |
туры можно решать различными методами, каждый из которых имеет определенные преимущества и недостатки. Воспользуем ся методом динамического программирования, который является весьма эффективным способом максимизации при решении различных проб лем, связанны х с многоэтапным выбором. К числу этих проблем относится и проблема оптимального выбора структур.
Сформулируем поставленную задачу о получении минимального коэффициента простоя при заданной стоимости с помощью методов теории динамического программирования. Д ля вывода основного функционального уравнения запишем рассматриваемую задачу в виде
min kn{Xj, х2..........х„) =
П
0« 2 ctxі<с0
£=1
ОС i= l |
—П |
kni |
(*|) |
|
= min |
1 |
|
(4.30)' |
п |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ГЛАВА 4
где kn — коэффициент простоя системы; /?П(- (xt) — коэффициент простоя і-й подсистемы, когда в ней имеется х с резервных элементов; Cj- — стоимость одного элемента і-го типа; с0— величина, ограничи ваю щ ая стоимость системы.
Заметим, что
|
m i n |
k n ( X) — |
|
|
m i n |
П knn (хп) |
X |
°< |
П |
сіхі^ со |
|
|
|
|
сп х„<с„ |
ЛЛ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
П |
1 — |
m i n |
|
П |
k ni (Хі) |
|
(4.31) |
|
|
|
( = 1 |
|
л- i |
|
д.. |
|
|
|
|
|
|
|
0 < 2 сіЧ^со~сп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
гд е X = (хІУ х.2, |
. . ., |
хп). |
|
|
|
|
|
|
|
Введем |
в |
рассмотрение |
некоторую |
функцию |
(с*), которая |
определяется |
в нашем случае следующим образом: |
|
f k (с*) = " |
m i n |
k n ( X ) = |
m i n |
1 |
- |
П |
1 |
П k ni |
(X i) |
ПП
|
°=s 2 cixi<’c" |
|
°< 2 cixi<c' |
|
|
|
|
i=i |
|
i=i |
|
|
|
T. e. индекс при функции f |
означает размерность |
минимизируемой |
функции |
/гп. |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
выражение |
(4.31) |
можно |
запи сать в виде |
|
fn ( с 0) = m i n |
( П |
k nn (xn) -I- |
( с 0 — спхп) — |
|
°< Ѵ ( і< со 1 х п |
|
|
|
|
— |
П |
/еп„ |
( х „ ) |
(с 0 — |
с (1л д | . |
( 4 . 3 2 ) |
|
|
-'Vi |
|
|
|
J |
|
Выражение (4.32) и есть функциональное уравнение, дающее рекуррентное решение поставленной задачи. Идея решения функцио
нального уравнения состоит в |
следующем: |
|
|
|
а) |
определяю тся оптимальные двумерные векторы состава системы |
дл я |
первого и |
второго элементов |
при всех |
значениях показателя |
стоимости, не |
превосходящ их |
с 0; |
|
|
|
|
б) находятся оптимальные трехмерные векторы состава системы |
для третьего элемента и соответствую щ их пар |
(xlt |
х 2) |
при всех зн а |
чениях показателя стоимости, |
не |
превосходящ их |
с 0; |
|
в) |
процедура продолжается |
до |
тех пор, |
пока |
не |
будет найден |
оптимальный п-мерный вектор состава для /г-го элемента и соответ ствую щ его оптимального вектора (xlt х 2, . . ., хп) при значении пока
зател я |
стоимости, равном |
с 0; |
г) выделяется оптимальное хп и соответствующ ий оптимальный |
вектор |
(хъ х 2, . . ., хп_х), |
которые в совокупности и дают оптималь |
ное решение. |
|
МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности
Алгоритм решения функционального уравнения достаточно раз работан и подробно описан [1, 3 2 ]. С помощью этого алгоритма может быть построена оптимальная синтезируемая структура при использовании какого-либо одного метода повышения готовности.
Д л я оптимального сочетания способов повышения готовности не обходимо подвергнуть обработке оптимальные структуры, получен ные с учетом каж дого способа повышения готовности. С этой целью предлагается алгоритм, который далее будем называть термином «мажорирование».
Суть алгоритма заклю чается в получении из некоторого числа исходных оптимальных последовательностей мажорирующей по следовательности {(&п0, с 0); (&п1, Сі ); (Ігп2, с 2)}, для которой переход в состояние с меньшим коэффициентом простоя /еп происходит с ми нимальными затратами по стоимости. При этом осущ ествляется по давление членов исходных оптимальных последовательностей, не удовлетворяю щ их условию доминирования. Построение мажори рующей последовательности начинается с выбора среди членов опти мальной последовательности члена с наименьшей стоимостью . Этот член становится первым членом мажорирующей последовательности. Среди оставш ихся членов оптимальных последовательностей вновь выбирается член с наименьшей стоимостью, и если соответствующий ему коэффициент простоя меньше, чем у ранее выбранного члена мажорирующей последовательности, то он становится вторым членом этой последовательности. Если ж е это условие не выполняется, то вновь выбранный член подавляется предыдущим членом (как имеющим меньший или равный коэффициент простоя при меньшей стоимости) и исклю чается из дальнейшего анализа. М ожет оказаться, что с одинаковой стоимостью будет сразу несколько членов. В этом случае в мажорирующую последовательность выбирается член, имеющий наименьший коэффициент простоя, а остальные члены отбрасываю тся. Процедура мажорирования продолжается до тех пор, пока не будут просмотрены все члены исходных оптимальных последовательностей.
Рассмотрим работу алгоритма «мажорирование» на следующем примере. П усть даны две исходные оптимальные последовательности, соответствующ ие двум способам повышения готовности (табл. 4 .5). Необходимо с помощью алгоритма «мажорирование» получить ре зультирую щ ую мажорирующую последовательность, учитывающую оптимальное сочетание рассматриваемых способов повышения готов ности.
Выбираем среди всех членов заданных последовательностей член
с минимальной стоимостью . Им является |
первый член первой после- |
довательности |
г 0,0571 0 |
членов исходных последо |
( |
1 1 5 |
/• Среди оставш ихся |
вательностей |
вновь |
выбираем член с |
минимальной стоимостью. |
Это второй член первой последовательности | 1 3 g \ Он имеет коэф фициент простоя kn = 0,045, меньший, чем .у предыдущего члена
ПО
