Файл: Оптимизация процессов грузовой работы..pdf

ГЛАВА 4

дачи определения оптимальной структуры резервированной системы по методу Кеттела точное решение может быть получено для систем, состоящ их не более чем из 2 0 элементов, при пятикратном увеличении лимитирующего параметра по сравнению с его значением, соответ­ ствующим основному соединению. Существенным препятствием для решения этой задачи при большом числе элементов системы является быстрый рост длины (т. е. числа членов) оптимальной последователь­ ности I с увеличением числа элементов в системе п, что может быть проиллюстрировано данными, приведенными в табл. 4 .16 .

121

Сокращение длин оптимальных последовательностей в результате использования специальных приемов, описанных в [2, 13, 32, 3 5 ], рассмотрено в § 4 .5 .

от нескольких факторов: значения лимитирующего параметра, х а ­ рактеристик элементов системы, а такж е порядка объединения под­ систем при решении задачи.

Очевидно, что при увеличении лимитирующего параметра длина оптимальной последовательности будет увеличиваться.

Вычислительные трудности возникаю т при объединении условных подсистем, если хотя бы одна из них уж е представляет собой объеди­ нение нескольких подсистем. Чем больш е подсистем объединено в условную подсистему, тем меньше «расстояние по стоимости» между двумя соседними членами оптимальной последовательности. Уменьшение этого расстояния приведет к тому, что при составлении оптимальной последовательности для последующей композиции под­ систем в одном и том ж е диапазоне значений суммарной стоимости резервных элементов придется производить все большее количество вычислений. Д л я того чтобы уменьшить объем вычислений, можно воспользоваться приемом «принудительного склеивания» [3 2 ]. При практических расчетах можно ввести ограничение, которое будет способствовать уменьшению длины оптимальной последовательности.

П усть нами получена некоторая оптимальная последовательность векторов системы (под вектором понимается совокупность характе­ ризующих систему значений kn и с), в которой имеются два вектора

тать допустимой погрешность е*п, превосходящ ую Akn, то очевидно, что векторы Ѵх и Ѵ 2 при анализе будут различаться лишь по значе­ ниям суммарной стоимости. Однако в таком случае в оптимальной последовательности вектор Ѵ2 уж е не должен присутствовать, так

122

ГЛАВА 4

как он при практически том ж е показателе надежности характери­ зуется большим значением суммарной стоимости. Подобный способ уменьшения количества членов оптимальной последовательности был впервые предложен Прошаном и Бреем и описан в [3 2 ]. Если при использовании этого способа оптимальная последовательность остается все ж е слишком длинной, можно либо увеличить допустимую погрешность е* , либо ввести дополнительные допустимые погреш ­

ности ес по стоимости. Подобное увеличение допустимых погреш­ ностей продолжается до тех пор, пока не будет найдено искомое ре­ шение.

Другим описанным в [32] способом уменьшения длины оптималь­ ных последовательностей является использование наибольших на­ чальных значений коэффициента готовности и стоимости, какие только можно подыскать. При составлении оптимальной последова­ тельности будем добавлять по одному элементу каждого типа до тех пор, пока, наконец, при добавлении очередного элемента не произой­ дет нарушение ограничения по стоимости. Выгодность использования данного способа видна на примере, который приводят Прошан и Брей: при решении одной из задач для системы, состоящей из 10 под­ систем, при трех ограничениях длина оптимальной последователь­ ности, полученной от начала вычислений до момента нарушения одного из ограничений, уменьш илась с 334 до 62 членов.

М ожно показать, что длины оптимальных последовательностей существенным образом зависят от порядка объединения отдельных подсистем. К ак известно, алгоритм Кеттела предполагает на каждом последовательном этапе процесса попарное объединение отдельных подсистем или группы подсистем в некоторые новые комбинирован­ ные подсистемы. В [3 2 ] утверж дается, что если показатель ненадеж ­ ности каждой подсистемы убывает экспоненциально по мере у вел и ­ чения затрат, то убывание ненадежности всей системы при правиль­

первоначального объединения выбирать подсистемы, для которых экспоненциальная зависимость между ненадежностью и стоимостью наиболее близка к аналогичной зависимости для всей системы, то длины оптимальных последовательностей будут минимальными.

Покаж ем это.

Пусть дана система из ѣ последовательно соединенных элементов. Необходимо повысить надежность этой системы, используя поэлемент­

ное резервирование. Д л я этой цели отпущены средства с0Гр. О тдель­ ные подсистемы имеют следующие характеристики:

где kniQ— коэффициент простоя i- й подсистемы; ci0 — стоимость, Обеспечивающая заданный уровень надежности ('-й подсистемы.

123

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

П осле резервирования подсистемы будут иметь следующие х а ­ рактеристики:

Здесь от,- — количество элементов в резервированной группе.

Т а к как стоимости с(- для всех подсистем ограничены величиной сог„, то наклон экспоненты будет характеризоваться коэффициентом ß. П оскольку ті — целое число, а сі0 = const, то с,- принимает дискрет­ ные значения и функция kni = f (с£) такж е дискретна. Эту функцию можно аппроксимировать экспонентой, если предположить, что с(. меняется непрерывно от с10 до согр.

При таком ж е предположении можно аппроксимировать экспо­ нентами все оптимальные последовательности, являю щ иеся ступен­ чатыми функциями. Н аклон экспоненты, аппроксимирующей ре­ зультирую щ ую оптимальную последовательность, будет меньше, чем наклон любой предшествующей экспоненты. Если первоначально объединять те подсистемы, аппроксимирующие экспоненты для которых наиболее близки к экспоненте результирующей оптималь­ ной последовательности, то экспонента первой промежуточной опти­ мальной последовательности будет такж е наиболее близка к экспо­ ненте результирующей последовательности. П оскольку ограничения вводятся по обеим осям'координат, то и область поиска в этом сл у ­ чае будет меньше, чем при введении ограничения по одной оси. Так как экспоненты характеризую тся коэффициентом .ß, то порядок объединения подсистем можно устанавливать в зависимости от зн а­ чения ß. Коэффициент ß есть число отрицательное, и поэтому в пер­ вую пару следует выбирать подсистемы с наименьшим его модулем. Следующую пару должны составлять результат объединения пре­ дыдущей пары и подсистема с наименьшим по модулю коэффициен­ том ß. и т. д.

. 1 2 4