ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 243
Скачиваний: 0
7. |
Рассмотрим |
некоторую |
систему координат на прямой. Допустим, что к коор |
|||||||||||||||
|
динате |
каждой |
точки |
прибавлено |
число |
3 и |
данной точке |
поставлена |
||||||||||
|
в |
соответствие |
полученная сумма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a) |
Каким |
будет |
|
новое |
число, |
соответствующее |
точке Р , |
если |
ранее она |
||||||||
|
|
имела координату |
5? Каким будет новое число для |
точки Q, |
ранее |
|||||||||||||
|
|
имевшей координату — 2? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
B ) Какими |
будут |
|
новые числа |
для |
двух |
точек |
прямой, |
если |
ранее эти |
||||||||
|
|
точки имели координаты а и 6? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
c) |
Каждой |
ли |
|
точке |
прямой |
будет |
соответствовать новое |
число? Каждое |
|||||||||
|
|
ли число будет при этом соответствовать какой-либо точке прямой? |
||||||||||||||||
|
d) |
Покажите, |
что формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I (Новое число для |
некоторой |
точки) — (Новое |
число для |
другой точки) | |
||||||||||||
|
|
определяет расстояние между этими двумя точками. |
|
|
|
|||||||||||||
|
e) |
Удовлетворяет |
ли |
новое соответствие между точками и числами |
каж |
|||||||||||||
|
|
дому из трех условий аксиомы масштабной линейки? Можно ли каждое |
||||||||||||||||
|
|
новое число называть координатой соответствующей точки? Почему? |
||||||||||||||||
8. |
Шкалы |
А |
и |
В |
на |
этом рисунке |
имеют одну и ту же единицу, |
но точкам |
||||||||||
|
прямой ставят |
в |
соответствие разные |
числа. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
' |
|
|
|
М |
|
N |
|
|
|
|
Ш капа А |
3 |
2 |
1 |
0 ~1 |
|
|
|
|
„ |
|
ц |
|
|
|||
|
|
—-------------- 1----1-----1-- 1----н н ------ 1----------------------- 1---------------------------------- 1» - |
|
|||||||||||||||
|
|
Ш ка п а В - 2 - 1 |
0 1 - 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a) |
Какую |
координату |
имеет точка К на шкале А? |
|
|
|
|||||||||||
|
B ) -Какие координаты |
имеют точки М и N на шкале S ? |
|
|
|
|||||||||||||
|
c) |
Какую |
координату |
имеет точка |
М |
на шкале В, если х = |
— 6? |
|
||||||||||
|
d) |
Чему равно у, если точка |
N |
на шкале В имеет координату |
9 |
? |
||||||||||||
|
e) |
Чему |
равно |
расстояние К M l |
расстояние |
M N ? |
|
|
|
|
||||||||
9.Сколько имеется действительных чисел? Откуда вам это известно? Говорит ли это что-нибудь о числе точек на прямой? Сколько точек должна содер жать прямая? Каким образом участвует в вашем рассуждении аксиома масштабной линейки?
10. Города Актон, Барнхэм и Сентервилл, находящиеся |
в |
одном |
из |
округов |
||||||||||||||||||
США, «коллинеарны» (т. е. принадлежат |
одной прямой), |
хотя |
и не обяза |
|||||||||||||||||||
тельно |
расположены |
в том |
порядке, в каком они перечислены в этой |
|||||||||||||||||||
задаче. Расстояние от Актона до Барнхэма равно |
12 км\ расстояние от |
|||||||||||||||||||||
Барнхэма до Сентервилла равно 21 км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a) |
Можно ли |
сказать, |
какой |
город находится между двумя другими? Какой |
||||||||||||||||||
|
город не находится между двумя другими? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
B ) |
Сделайте эскиз и с его |
помощью определите расстояние от Актона до |
||||||||||||||||||||
|
Сентервилла. Существует ли здесь только одна возможность или больше? |
|||||||||||||||||||||
c) |
Если |
вам |
дополнительно |
стало |
известно, |
что |
расстояние |
от |
Актона |
|||||||||||||
|
до |
Сентервилла |
равно |
9 |
км, |
то |
какой |
город находится между двумя |
||||||||||||||
|
другими? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d) |
Если |
|
расстояние |
между |
Актоном и Барнхэмом равно k километрам, |
|||||||||||||||||
|
между |
Актоном |
|
и |
Сентервиллом — т |
километрам, |
между Барнхэмом и |
|||||||||||||||
|
Сентервиллом |
k + m |
километрам, |
то |
какой город находится между двумя |
|||||||||||||||||
|
другими? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 . £ , |
Н |
и |
К — три |
точки на |
прямой. £ |
и |
Я |
отстоят |
друг |
от друга |
на 3 см, |
|||||||||||
а |
Н |
и |
К — на |
5 |
см. |
Сколькими |
способами |
можно расположить |
эти три |
|||||||||||||
точки? Поясните ваш вывод эскизом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12. На |
одной |
и той |
же |
прямой |
заданы три системы координат. Три фиксиро |
|||||||||||||||||
ванные точки |
А, |
В |
и С этой |
прямой |
имеют следующие |
координаты: |
||||||||||||||||
В |
системе |
I точка |
А |
имеет |
координату — 6, |
а точка |
В |
координату |
— 2; |
|||||||||||||
В |
систему |
11 |
точки |
А |
и С |
имеют соответственно координаты — 4 и — 3; |
||||||||||||||||
47
В |
системе |
I I J |
точки С я В имеют соответственно координаты 7 и 4. |
a) К акая |
точка |
лежит между двумя другими? |
|
B ) |
Подсчитайте |
АВ - \- АС- \ -ВС . |
|
§ 6. АКСИОМА ПРИКЛАДЫВАНИЯ ЛИНЕЙКИ. ПОНЯТИЕ «МЕЖДУ». ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
Аксиома масштабной линейки говорит нам, что на любой пря мой, мы можем установить систему координат, приложив к этой
прямой «бесконечную линейку» (числовую шкалу). |
Очевидно, |
это можно сделать многими различными способами. |
Например, |
если на рассматриваемой прямой задана произвольная точка Р, то Р можно сделать нулевой точкой а затем «положительную
часть», шкалы направить |
в любую сторону от точки Р: |
|
|||||||||
|
1 |
1 |
1 |
4 |
р |
Ч |
1 |
1 |
1 |
|
► |
------------- |
1----- |
|
|||||||||
|
-4 - 3 - 2 - 1 0 |
1 |
2 |
3 4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
-« ------------ |
1---------- |
1------- |
1-------- |
1------------ |
1-------- |
1---------- |
1-------- |
1-------- |
1------------- |
|
» - |
|
4 3 |
2 |
1 |
О - 1 —2 —3 — 4 |
|
|
|||||
Таким образом, если Q—любая |
другая |
точка |
этой |
прямой, |
|||||||
то линейку |
можно приложить |
так, |
что координата |
точки |
Q будет |
||||||
положительной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
О |
|
|
|
|
-« ------------- |
1---------- |
1------- |
1------- |
1------------ |
1------- |
1— I— н---------------- |
|
1------------ |
► |
|
|
|
-4 - 3 - 2 - 1 |
0 |
1 |
2 x 3 |
|
4 |
|
|
|||
— |
|
|
Q |
1 |
Р |
1 |
1 |
1 |
1 |
► |
|
Н— — I— НН------ |
1---------- |
|
|||||||||
|
4 3 x 2 |
1 |
0 - 1 - 2 - 3 -4 |
|
|
||||||
(На нашем рисунке в обоих случаях линейка приложена так, что х > 0 .)
Придадим этому наблюдению формальный характер, выска зав его в виде следующей аксиомы:
Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки)
Каковы бы ни были две различные точки Р и Q на произволь ной прямой, система координат на этой прямой может быть выбрана так, что точка Р будет иметь координату нуль, а коор дината точки Q будет положительна.
Какой смысл имеет утверждение, что точка В лежит между двумя точками А и С, знает каждый: это означает, что все три точки лежат на одной прямой, причем на этой прямой они рас положены так:
4 |
С |
48
и л и т а к :
-я .............. |
о----------------------------------- 1 |
■ ■О |
—— |
|
|
С |
В |
А |
|
Все это верно. Достаточно нарисовать несколько картинок, для того чтобы каждый человек понял значение слова «между». Но в гл-. 1 мы обещали, что все понятия геометрии, все новые термины, за исключением только терминов «точка», «прямая» и «плоскость», будут определены. Чтобы сдержать слово и выпол нить наше обещание, нам придется дать понятию «между» мате матическое определение, согласующееся с интуитивными пред ставлениями, возникающими при рассматривании рисунков. Сде лать это нетрудно.
Определение
Точка В лежит между А и С, если 1°. А, В и С — различные точки одной и той же прямой; 2°. AB А- ВС— АС.
Легко проверить, что это определение выражает как раз ту идею, которая подсказывается последними двумя рисунками.
Та форма, которая придана нами определению понятия «между», основы вается на одной тонкости. Мы здесь имеем в виду тонкость, связанную с упот реблением слова «если». В том случае, когда два каких-либо утверждения, фигурирующие в определении нового понятия, связаны предлогом «если», эти утверждения считаются полностью равносильными (эквивалентными). Таким
образом, если мы |
знаем, что В лежит между А |
и С, то мы можем утверждать, |
что имеют место |
и 1° и 2°, а если мы знаем, |
что имеют место 1° и 2°, то мы |
можем утверждать, что В лежит между А и С. Это употребление слова «если»
является совершенно |
специфическим, |
потому что оно отличается от употреб |
ления этого слова как |
в обычной речи, так и в аксиомах и в теоремах. Только |
|
в определениях слово |
«если» означает |
«равносильно». |
Задачи к § 6 (часть 1)
1. Рассмотрим систему координат на прямой, в которой точки R и S имеют соответственно координаты х и у. Применим аксиому прикладывания линейки, т. е. переместим шкалу так, что точка R получит координату О, а коор динатой точки S станет некоторое положительное число. Чему будет равно это число, если32
а)
с)
е)
X — — 3,
х = 8,
* II СЛ j-o
У = 4; |
b) |
X = — 4, |
У = — |
|
у = |
- 2; |
,, |
9 |
у ~ — |
|
|
|||
У = |
6,1; |
f) |
х = а , |
У — Ь} |
2. |
А, |
В |
и |
С — точки |
некоторой |
прямой. АС — В С = 5, координата |
точки С |
|||||
|
равна |
8 / |
а координата |
точки |
А |
больше, |
чем |
координата точки |
В. |
Чему |
||
|
равны координаты точек А и S ? |
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Л, |
В |
и С — три точки |
некоторой |
прямой. АС = |
В С = \ 0 , координата |
точки |
|||||
|
С |
равна |
8, а координата точки А |
больше, |
чем |
координата точки |
В. |
Чему |
||||
|
равны |
координаты |
точек А и Ö? |
|
|
|
|
|
||||
49
4. |
М , |
N и Р — три |
точки |
некоторой прямой. M N — 7, |
N P = 9, М Р — 2, а коор |
||||||||||||||||
|
дината |
|
точки М |
равна |
3. |
Чему равны координаты точек N и Р, если |
|||||||||||||||
|
a) координата |
точки |
Мменьше, |
чем |
|
координата |
точки .N\ |
|
|
|
|||||||||||
|
b) координата |
точки |
Мбольше, |
чем |
|
координата |
точки |
/V? |
|
|
|
||||||||||
5. |
П усть |
R, |
S и Г — три |
точки некоторой прямой. Какое |
соотношение |
между |
|||||||||||||||
|
R S , |
S T |
и R T |
должно выполняться, если R лежит между S |
и Т? |
|
|
||||||||||||||
6. |
Р , |
Q |
|
и |
R — три |
точки |
некоторой прямой. |
Какая из этих |
точек |
лежит |
|||||||||||
|
между |
|
двумя |
другими, |
если P Q — 12, P R = 7 и QR = 5? Накакойаксиоме |
||||||||||||||||
|
или |
на |
каком определении базируется ваш ответ? |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
G, |
Н |
|
и |
К — три |
точки |
некоторой |
прямой. |
Координаты G и Н |
соответ |
|||||||||||
|
ственно |
равны |
4 |
и |
|
— 3. |
Какую |
координату |
имеет точка К , |
если |
Н |
лежит |
|||||||||
|
между |
|
G и К |
и G K — 13? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8 * . А, |
Е |
и К — три |
точки |
некоторой прямой. Координаты |
точек |
А и |
К |
равны |
|||||||||||||
|
К 2 |
и |
|
— К 18. |
Какую |
координату |
имеет точка |
Е, |
если |
АЕ — Е Ю |
|
|
|||||||||
9 * . А, |
В |
и |
С — три |
точки |
некоторой |
прямой |
соответственно с |
координатами |
|||||||||||||
|
а, Ь и с. |
Какая |
из этих точек лежит |
между двумя другими, если |а— с| + |
|||||||||||||||||
+I с — b |= |а — b j? Обоснуйте ваш ответ.
10+. Является |
ли следующее предложение |
определением |
понятия |
«между» |
||||
для точек |
прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
F, G и Н — различные |
точки |
одной |
и той же |
прямой и |
|||
|
FG-\-GH — F H , если точка |
G лежит |
между F и FT? Чем |
|||||
|
эта формулировка |
отличается |
от той, которая была дана |
|||||
|
в тексте? |
|
|
|
|
|
|
|
|
11+. Пусть |
А, В |
и С — три |
точки на |
окружности. Мож |
|||
|
но ли сказать, что каждая из этих точек лежит меж |
|||||||
|
ду двумя |
другими? |
Подумайте. |
|
|
|||
Каждое из двух следующих утверждений очевидно.
1°. Пусть А, |
В |
и С—точки некоторой прямой с координатами |
|||
X, у |
и г: |
|
|
|
|
|
|
А |
в |
|
С |
-------1--------------- h |
|
г |
|||
|
|
X |
у |
|
|
тогда |
если |
x < . y < z , то |
точка В |
лежит между точками |
|
А и |
С. |
В |
и С—три различные точки одной прямой, то |
||
2°. Если |
А, |
||||
ровно одна из них лежит между двумя другими: |
|||||
|
|
A |
B |
|
С |
|
|
В |
|
А |
С |
|
|
А |
С |
' |
В |
Фактически |
оба |
эти утверждения можно доказать, опираясь |
|||
на аксиому |
масштабной линейки. Если же отказаться от их дока |
||||
зательства, |
то эти |
предложения |
придется |
считать аксиомами. |
|
50
