ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 241
Скачиваний: 0
сколько далеко они отстоят одна от другой. Это число называется расстоянием между Р и Q.
Теперь мы «математизируем» это неформальное обсуждение, сформулировав следующие аксиому и определение:
Аксиома 1 (аксиома расстояния)
Каждой паре различных точек соответствует некоторое опре деленное положительное число.
Определение
Р а с с т о я н и е м между двумя точками называется число, фи гурирующее в аксиоме расстояния. (Расстояние между точками Р и Q обозначается символом PQ.)
Далее |
мы будем допускать и возможность того, что P — Q, т. е. |
|||||
что Р и |
Q— одна и та же точка. В этом |
случае мы |
полагаем |
|||
PQ — 0. |
Заметим еще, что расстояние между |
точками определено |
||||
просто |
для |
пары точек и не з а в и с и т |
от |
порядка, |
в котором |
|
указываются |
эти точки; таким образом, всегда PQ = QP. |
|||||
В некоторых из задач, предлагаемых |
ниже, встречаются раз |
|||||
личные |
единицы длины, например сантиметры, дециметры, метры |
|||||
и т. д. |
Как |
мы уже говорили, все наши теоремы справедливы для |
||||
каждой из этих единиц при условии, что, применяя данную теорему,
мы пользуемся о д н о й |
единицей для измерения |
в с е х |
расстояний. |
|||||||||||||||||||
Иными |
|
словами, |
|
единицу длины можно выбрать любую, но уже |
||||||||||||||||||
затем |
твердо ее |
придерживаться; |
менять |
единицу в середине до |
||||||||||||||||||
казательства |
нельзя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задачи к § 4 (часть 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Аллен, |
|
Брюс и |
Чарлз |
измерили |
в |
сантиметрах расстояние |
между двумя |
||||||||||||||
|
точками |
Р и Q, отмеченными на доске. Аллен сказал, что PQ = |
27, |
Брюс — |
||||||||||||||||||
|
что |
PQ = 27,5, |
а |
Чарлз — что |
PQ — 26,75. |
Сколько |
из |
этих |
мальчиков |
|||||||||||||
|
могли |
быть |
правы? |
Почему? |
Обязательно |
ли хотя |
бы один |
из |
них был |
|||||||||||||
|
прав? |
Подумайте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Если |
|
расстояние |
|
PQ |
равно |
54 |
см, |
то |
чему |
оно |
равно |
в |
дециметрах? |
||||||||
|
в метрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Если |
|
расстояние |
|
R S |
равно |
15 |
дм, |
то |
чему |
оно |
равно |
в |
сантиметрах? |
||||||||
4. |
в метрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эдвард |
и Фрэнк |
|
подсчитали расстояние между одними и теми же точ |
|||||||||||||||||||
|
ками |
|
А, |
В |
и С. |
|
Эдвард сказал: |
«Aß = |
1, |
а |
В С = |
2 у » , |
Фрэнк сказал: |
|||||||||
|
«A ß = |
12, |
а ВС = |
30». |
Если |
оба мальчика были правы, то объясните, как |
||||||||||||||||
|
они |
могли |
для |
одних |
и тех |
же |
расстояний |
получить разные |
числа? Сог- |
|||||||||||||
' |
ласуется |
ли это |
с |
аксиомой |
расстояния? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Если |
|
расстояние |
R S |
равно |
х |
дм, |
то |
чему |
равно |
R S |
в |
сантиметрах? |
|||||||||
|
в метрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 * . Расстояние |
A ß , |
измеренное в |
сантиметрах, |
на |
15 |
больше, |
чем |
5-кратное |
||||||||||||||
|
то же самое расстояние, измеренное в дециметрах. |
Чему равно |
расстояние |
|||||||||||||||||||
|
AB |
в |
дециметрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
42
7 * . Периметр |
|
треугольника, |
измеренный |
в |
сантиметрах, |
на |
20 больше, |
чем |
|||||||||
6-кратный периметр того |
же треугольника, |
измеренный в дециметрах. Чему |
|||||||||||||||
равен этот периметр в сантиметрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8+. Если |
сторона |
квадрата |
равна |
4 |
дм, |
|
то |
его |
периметр |
равен |
16 |
дм, |
|||||
а площадь— 16 кв. |
дм. Так |
как |
1 6 = 1 6 , |
то |
утверждение «Площадь квадрата |
||||||||||||
равна |
его |
периметру» для |
нашего |
квадрата верно. |
|
|
|
|
|||||||||
a) Будет |
ли это |
утверждение |
верно |
для |
нашего |
квадрата, |
если |
его |
|||||||||
стороны |
измерять |
в сантиметрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B ) Найдите |
два |
других |
квадрата, для |
|
которых |
это |
утверждение верно. |
||||||||||
c) Что общего имеют три квадрата, для |
которых верно указанное утвержде |
||||||||||||||||
ние? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9+. Если |
основание |
прямоугольника |
равно |
6 |
дм, а |
боковая |
сторона — 4 |
дм, |
|||||||||
то утверждение «периметр прямоугольника равен сумме удвоенного осно
вания и удвоенной боковой |
|
стороны» |
для |
нашего |
прямоугольника |
верно. |
||||||||||||||
a) |
Будет |
ли |
это утверждение верно, если основание |
и |
высоту |
прямоуголь |
||||||||||||||
ника измерять в |
сантиметрах? в метрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
B ) |
Зависит ли справедливость этого утверждения от |
специального |
подбора |
|||||||||||||||||
чисел? от выбора единицы длины? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10+ . Если радиус круга |
равен |
2 м, |
то |
длина |
окружности |
(C — 2nR) |
равна |
|||||||||||||
4л |
м, а площадь |
круга (Л = |
л г2) равна 4л кв. м. Тогда утверждение «площадь |
|||||||||||||||||
круга равна длине окружности» для нашего |
круга верно. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a) |
Будет |
ли |
это |
утверждение верно |
для |
нашего |
круга, |
если |
его |
радиус |
||||||||||
измерять |
в |
дециметрах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B ) |
Найдите |
два других круга, для которых |
это |
утверждение |
верно. |
|
|
|||||||||||||
c) |
Зависит |
ли справедливость этого утверждения от специального |
подбора |
|||||||||||||||||
чисел? от выбора |
единицы |
длины? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11+ . Из задач 8, 9 и 10 можно увидеть, |
что некоторые геометрические утвержде |
|||||||||||||||||||
ния верны только для определенных чисел, причем здесь не имеет |
значения |
|||||||||||||||||||
то, |
как |
выбрана |
единица длины. Другие |
утверждения |
верны |
независимо |
||||||||||||||
ни от выбора чисел, ни от выбора единиц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Проверьте, |
что каждое из следующих утверждений |
верно. Затем |
укажите, |
|||||||||||||||||
останется ли каждое из них верным, если измерять |
длины |
в других |
едини |
|||||||||||||||||
цах. Какие |
утверждения останутся верными только в том случае, |
если |
при |
|||||||||||||||||
любой единице длины не менять фигурирующие в |
задаче |
числа? |
|
|
|
|||||||||||||||
a) |
Периметр |
прямоугольника |
с основанием |
3 дм |
и боковой |
стороной |
4 |
дм |
||||||||||||
равен 14 |
дм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B ) |
Периметр квадрата |
со стороной |
2 дм в |
два раза |
больше |
его |
площади. |
|||||||||||||
c) |
Периметр треугольника, |
каждая сторона которого равна 12 см, |
равен 36 см. |
|||||||||||||||||
d) Треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 5 см является прямоугольным (вос пользуйтесь равенством Пифагора).
e) |
Треугольник со сторонами 9 см, 12 см и 15 см является прямоугольным. |
f) |
Площадь круга с радиусом 4 дм в два раза больше длины его окружности. |
§5. БЕСКОНЕЧНАЯ ЛИНЕЙКА
Вначале этой главы мы нанесли на прямую числовую шкалу, подобно тому как изображено на этом рисунке.
— |
1 |
1 |
-/3 |
I |
I |
1—I— |
I |
,71 |
і |
*- |
И------ |
Н-------- |
|||||||||
|
-и |
- з |
- 2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
к |
|
Можно, конечно, взять масштаб покрупнее:
— |
- / 3 |
1 |
1 |
! |
/? |
1 |
■" - »■ |
1— I-------------- |
1---------- |
||||||
|
- 2 |
-1 |
0 |
7 |
|
2 |
|
43
или помельче: |
|
|
|
- /3 |
/2 |
я |
» - |
-----------------------Г— I (— Н— I------- |
Н — М — I— — н і-------------------------------- |
||
-Ч - 3 -2 -1 |
0 1 |
2 3 4 |
|
Мы, однако, условимся, что, начиная, с этого момента, каж дый раз, когда будем наносить на прямую числовую шкалу, будем пользоваться той шкалой, которая соответствует аксиоме расстояния (которая ведь предполагает, что единица измерения длин уже как-то выбрана). Это значит, что точка, помеченная числом 1, находится от точки, помеченной числом 0, на рассто янии 1, а точка, помеченная числом —2, находится от точки, помеченной числом 0, на расстоянии 2 и т. д.
|
Р |
|
Q - I |
R |
? |
5 |
------------------ |
------ 1----- |
1— - н------ |
1----- |
+— |
1----------------- |
|
|
- 3 - 2 - 1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
|
На |
последнем рисунке |
можно |
|
найти |
расстояния Q/? = l, |
|
QS = 2, |
QT = 3. Отсюда |
с помощью |
вычитания находим |
|||
|
|
RS = 2— 1 = |
1, |
|
||
|
|
RT — 3 — 1 —2, |
|
|||
PR = 1 —(— 2) = 3.
Создается впечатление, что всегда можно находить расстоя ние, взяв разность соответствующих пометок шкалы. Это утвер ждение и в самом деле «почти верно». (Но не совсем верно.) Если точки Р и R взять в обратном порядке, то мы получим неверный ответ:
RP = — 2 — 1 = — 3,
отличающийся от правильного ответа только знаком. Факти чески примерно в половине случаев вычитание даст отрицатель ное число, в то время как расстояние (см. аксиому 1) всегда дол жно быть положительно.
Эту трудность, однако, легко устранить: будем заменять раз ность пометок шкалы ее абсолютной величиной. После этого все правильные ответы останутся правильными, а все неправильные станут правильными. Например,
PR = 'i 1 — (— 2) і == 13 I — 3
44
й
7?Я==! — 2— 1 ' = !— 3! = 3,
как и должно быть.
Таким образом, мы видим, что расстояние между двумя точ ками равно абсолютной величине разности соответствующих чисел.
Этим общим соображениям мы придадим формальный харак тер, объединив их в следующей аксиоме:
Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки)
Точкам прямой можно поставить в соответствие действи тельные числа так, что 1°. каждой точке прямой будет соответствовать одно и только
одно действительное число; 2°. каждому действительному числу будет соответствовать одна
и только одна точка прямой; 3°. расстояние между любыми двумя точками будет равно абсо
лютной величине разности соответствующих чисел.
Мы называем эту аксиому «аңсиомой масштабной линейки» потому, что в сущности она доставляет нам «бесконечную (мас штабную) линейку», которую мы можем прикладывать к любой прямой и находить с ее. помощью расстояния между любыми двумя точками.
Определения
Соответствие между точками и числами, описанное в аксиоме
масштабной линейки, называется с и с т е м о й |
к о о р д и н а т (на |
||||||
прямой). Число, |
соответствующее |
данной |
точке, называется |
||||
к о о р д и н а т о й |
этой точки. |
|
|
|
|
||
|
1 |
Р |
Q |
R |
S |
Т |
► |
--------------- |
1----- |
(——)----- |
1------- |
1----- |
1---------------- |
||
|
- 3 |
- |
2 - 1 |
0 |
1 2 |
3 |
|
На верхнем рисунке координатой точки Р служит число —2, координатой точки О—число 0, координатой точки R —число 1 и т. д. Если точка Р имеет координату х, а точка Q—коорди нату у, то аксиома масштабной линейки утверждает, что
PQ— \У— х \-
Р |
-г |
*+■ |
Q |
|
4- |
||
X -1 |
0 |
1 |
У |
45
Задачи к |
§ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
На |
этом |
рисунке |
на прямой |
установлена |
система координат с 0 в точке А |
||||||||||||
|
и |
с |
1 |
в |
точке |
С. |
Некоторые нецелочисленные координаты, чтобы их было |
|||||||||||
|
легче |
рассмотреть, |
выписаны |
ниже целочисленных. Определите следующие |
||||||||||||||
|
расстояния: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
АС; |
|
Ь) |
AD; |
C) |
E l ; |
|
d) |
PR; |
|
|
|
|
||||
|
е) |
R I ; |
|
0 |
AN; |
|
g) |
BH; |
|
h) |
Q M ; |
|
|
|
|
|||
|
і) |
A F; |
|
І) |
D J ; |
|
k) |
ND; |
|
1) |
P F . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R |
|
Q P |
N |
|
МА В CD |
|
£ F Q Н 1 J |
|
|||||
|
|
|
|
|
I |
I |
' |
I |
I ' |
I |
M |
' 1 1 |
1 |
-Н ------і- ' |
1 ' |
'I- |
||
|
|
|
|
|
- 5 |
- 4 |
и |
- 3 |
- 2 -~1 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
А |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Г з |
|
1 |
1 |
Г2 |
|
Т, |
| |
/37 |
||
|
|
|
|
|
|
* |
3 |
|
|
‘ I |
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Упростите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
I 6 — 2 |
I; |
|
|
b) |
I 2 — 6 |; |
|
|
с) |
I 5 — 0 [; |
|
|
|
||||
|
d) |
10 — 5 I; |
|
|
e) |
i 0 — (— 5 )! |
|
f) |
I 4 — (— 4)|; |
|
|
|||||||
|
g) |
1*1; |
|
|
|
|
h) |
I * — 0 I; |
|
|
0 i*—(—*)I; |
|
|
|||||
|
і) |
1*1 — 1—* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.Пользуясь аксиомой масштабной линейки, найдите расстояние между двумя точками, имеющими следующие координаты:
а) |
0 и |
8; |
Ь) 8 |
и |
0; |
с) |
0 и |
— 8; |
d) - 5 |
и — 7; |
е ) - | и |
f) ^ 2 |
и |
||||
g) |
/ З |
и — ]/^ 5 ; |
h) X |
и |
у; |
і) |
2а |
и — а; |
j) 0 |
и |
X. |
|
|
|
|
|
|
4.Необходимо ли, пользуясь обычной 30-сантиметровой линейкой для изме рения расстояния между двумя точками, отмеченными на листе бумаги, помещать 0 в одну из этих точек? Объясните.
5. Допустим, что при измерении расстояния PQ |
вы |
собираетесь |
совместить |
|||||||||||||||
|
нуль вашей линейки с точкой Р и |
прочитать положительное |
число при |
|||||||||||||||
|
точке |
Q. |
Как |
вы |
сумеете определить |
расстояние |
PQ, если вы нечаянно |
|||||||||||
|
наложили |
свою |
линеику так, |
что точке |
Р |
соответствует |
1 |
а |
точке |
|||||||||
|
Q а) |
соответствует |
некоторое |
положительное |
число; Ь) соответствует не |
|||||||||||||
|
которое |
отрицательное число S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Шкалы |
А |
и В |
на этом |
рисунке отвечают одной |
и той же единице длины, |
||||||||||||
. |
но |
независимо от этого |
точкам |
прямой |
ставят |
в |
соответствие |
разные |
числа. |
|||||||||
|
a) |
Какие |
координаты имеют точки R, |
Р |
и Q на |
шкале А? |
|
|
|
|||||||||
|
B ) Покажите, как найти расстояние |
RQ, |
пользуясь |
шкалой |
В; |
пользуясь |
||||||||||||
|
|
шкалой А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c) Чему |
равно расстояние PQ на шкале |
Л? на шкале В ? |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Шкала А - 4 |
|
- 2 |
R |
|
|
|
|
Р |
|
|
Q |
|
|
||
|
|
|
----------------- |
|
1— I— I— I— I— I— I------------------------ |
|
|
|
і----------------------- |
|
h |
|
|
|||||
|
|
|
Ш к а л а В 0 1 2 3 Р 5 6 |
|
|
|
х |
|
и |
|
|
|||||||
46
