Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Пусть С —длина некоторой окружности. Кажется разумным допустить, что если мы захотим измерить длину С, то мы сможем это сделать, вписав в нашу окружность правильный многоуголь­ ник с большим числом сторон и затем измерив периметр этого многоугольника. Другими словами, мы предполагаем, что этот пе­ риметр р при большом п должен давать хорошее приближенное значение числа С. Если это так, то, решив насколько близким к С нам хотелось бы иметь число р, мы должны быть в состоянии получить такое р, взяв п достаточно большим. Символически мы выразим эту ситуацию с помощью записи

Р-+С

ибудем говорить, что р имеет своим пределом число С.

Однако доказать этого мы не можем; и причина, по которой мы не можем этого доказать, довольно неожиданна. Дело в том, что до сих пор у нас нет математического определения понятия длины окружности. (Мы не можем получить длину окружности пу­ тем сложения каких-либо отрезков — способ, которым мы находим

вильных многоугольников, вписанных в эту окружность.

Теперь мы хотим определить число я обычным образом, как отношение длины окружности к диаметру. Но чтобы иметь уве­ ренность, что это определение имеет смысл, сначала нужно знать, что отношение С/2г одинаково для всех окружностей, независимо от их размера. И в самом деле, это верно.

Теорема 16.1

Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех

в каждую из них по правильному п-угольнику.

537

Мы изображаем на рисунке только по одной стороне каждого из «-угольников вместе с соответствующим равнобедренным тре­ угольником. Как видно из пометок, два центральных угла кон­ груэнтны, потому что мера каждого из них равна 360/«. Кроме того, заключающие этот угол стороны пропорциональны: r'Ir = r'[r. По СУС-теореме подобия

ABQA~AB'Q'A'.

Следовательно,

где р и р' — периметры наших двух «-угольников. Теперь

р -+ С и p' -V С'

по определению длины окружности. Поэтому

Так как отношения у и ~ равны, то равны и их пределы:

что и требовалось доказать.

Отношение СІ2г обозначается буквой л. Так как оно для всех окружностей одинаково, то для всех окружностей справедлива формула

С = 2пг.

Число л не рационально. Фактически его нельзя точно вы­ числить никакими обычными методами алгебры. С другой сторо­ ны, его можно с л юб о й с т е п е н ь ю т о ч н о с т и приблизить рациональными числами. Вот некоторые из хороших приближен­ ных значений этого числа:

538

Путем простых измерений нетрудно убедиться, что я немного больше, чем 3. Но очень хорошее приближение можно получить только с помощью достаточно глубоких методов математики.

Задачи к § 3

1. В окружность радиуса 1 вписан правильный многоугольник. Затем в эту же окружность вписан другой правильный многоугольник, имеющий на од­

c)Какой предел имеет мера угла многоугольника?

d)Какой предел имеет периметр многоугольника?

2.Диаметр велосипедного колеса равен 70 см. На сколько продвигается вело­ сипед с каждым оборотом колеса? (Какое приближенное значение числа я приводит к самым простым вычислениям?)

жает число л?

4.Длина окружности бревна равна 157 см. Какую длину имеет сторона поперечного сечения наи­ большей квадратной балки, которую можно вытесать из этого бревна? (Считайте, что л равно 3,14.)

5.Какой радиус имеет окружность с длиной л?

6.Круглый плавательный бассейн диаметра 10,5 м обнесен оградой в форме квадрата. Общая длина ограды вдвое больше длины окружности бассейна. Какую длину имеет одна сторона этой квадратной ограды?

7.Сторона квадрата имеет длину 8 см. Найдите длину вписанной в него окруж­ ности; окружности, описанной около него.

8.Длина стороны равностороннего треугольника равна 12. Чему равна длина вписанной в него окружности? окружности, описанной около него?

9.Земля находится приблизительно в 150 млн. км от Солнца. Путь ее вокруг Солнца является почти круговым. Подсчитайте теперь, какой путь вокруг

10. Радиус Земли приблизительно равен 6 400 км. Когда Земля вращается вокруг своей оси, объекты, находящиеся на ее поверхности, дви­ жутся с различной скоростью по отношению к земной оси, причем их скорость зависит от широты каждого объекта. Какую приблизи­ тельно скорость в километрах в час имеет объект, находящийся на экваторе? С какой скоростью движется объект на 45° северной широты?

11.Сторона правильного шестиугольника равна 6. Чему равна длина вписанной в него окружно­ сти? окружности, описанной около него?

12.Радиусы трех окружностей равны 1 м , 10 ж и 10 000 м. Радиус каждой

539

§ 4. ПЛОЩАДЬ КРУГА

числению длины окружности.) И здесь, как и раньше, выход совсем прост.

540