Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Дан А. В. Пусть r — расстояние между пометками на нашей линейке. Сначала проведем окружность с центром В и радиу­ сом г. Она пересечет стороны угла в точках А и С.

Наложим теперь линейку так, чтобы

1°. она проходила через точку С. Затем будем ее передвигать и поворачивать до тех пор, пока

2°. одна из пометок окажется в некоторой точке О окруж­ ности,

3°. другая пометка совместится с некоторой точкой Р луча, противоположного лучу ВА-

Тогда мы получим ситуацию, изображенную на нашем ри­ сунке. Так как /\ Q B P - равнобедренный треугольник и QB=QP=r, то углы при основании треугольника имеют одну и ту же меру а, как это указано на нашем рисунке, и по той же причине углы при основании £\BCQ имеют одну и туже меру Ь.

Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер внутрен­ них углов, с ним не смежных. Применяя эту теорему к /\Q B P , получаем, что Ь = а + а = 2а.

Применяя ту же теорему к Д В С Р, находим, что с = Ь-\~а и,

следовательно, с = 3а. Таким образом, т /. Р = ~ т А В С .

Теперь внутри /_ АВС мы дважды построим угол, конгруэнт­ ный /. Р.

Мы разделили АВС на три конгруэнтные части!

Конечно, эта процедура не разрешалась идущими от Евклида правилами построения циркулем и линейкой.

524

Q

525

Вопросы и задачи для повторения

1.Охарактеризуйте множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

2. Охарактеризуйте множества всех центров окружностей, лежащих в данной плоскости и касающихся данной окружности в данной ее точке.

3. Охарактеризуйте множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки.

4 . В плоскости Е даны прямая и не принадлежащая ей точка. Охарактеризуйте множество всех точек плоскости Е , удаленных на расстояние d от данной прямой и на расстояние г от данной точки.

7. Изобразите и опишите уравнением множество всех точек, равноудаленных от точек Л( — 5, 0) и ß (3, 0).

8. Изобразите и опишите уравнением множество всех точек, находящихся на расстоянии 3 от графика уравнения _у = 0. (Пользоваться знаком ± не разре­ шается.)

9. Нарисуйте довольно большой разносторонний треугольник.

Затем с помощью циркуля и линейки найдите его ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и центр описанной окружностей.

10. Постройте ромб, если даны один его угол и отрезок, длина которого равна периметру ромба.

a)Докажите, что Д ЛВС — равнобедренный треугольник.

B ) Определите координаты его центра тя­ жести.

526

15. Пусть Л — центр окружности радиуса а и В — центр окружности радиуса Ь, причем обе окружности лежат в одной плоскости. Должны ли эти окруж ­ ности пересекаться, если а + 6 > AB? Почему?

и радиус вписанной окружности.

20*. Дан отрезок, длина которого равна сумме длин диагонали и стороны квадрата. Постройте квадрат.

21*. Дан отрезок, длина которого равна разности длин диагонали и стороны квадрата. Постройте квадрат.

§ 1. МНОГОУГОЛЬНИКИ

Многоугольник —это фигура, получающаяся, когда мы последо­ вательно соединяем несколько точек (последнюю точку мы соеди­ няем с первой!), например, такая:

Понятие, идею которого иллюстрируют эти рисунки, фор­ мально вводится следующим образом:

Определения

Пусть Ръ Рг, ..., Рп— последовательность п различных точек на плоскости, где п ^ З . Предположим, что п отрезков РгРг, Р2Ра>• • •, Рп-лРп, РпР\ обладают следующими свойствами:

1°. Никакие два из этих отрезков не имеют общих то­ чек, отличных от этих общих концов. (Рх для отрезков РіР2 и РпРъ Р2 для отрезков / \ P 2 и Р 3Р3 и т. д.)

2°. Никакие два отрезка, имеющие общий конец, не коллинеарны.

529

Тогда объединение этих п отрезков называется м н о г о у г о л ь ­

многоугольника. (Для краткости мы их часто будем обозначать

так же можно определить пятиугольники, шестиугольники и т. д. Каждая сторона многоугольника принадлежит некоторой пря­ мой, и всякая такая прямая, конечно, разбивает плоскость на

две полуплоскости. Легко может случиться, что (как на левом рисунке) каждая из этих двух полуплоскостей содержит точки многоугольника. Если же для л ю б о й стороны многоугольника этого не происходит (как на правом рисунке), то многоугольник называется выпуклым. Повторим это кратко в виде определения.

Определение

Многоугольник называется в ы п у к л ы м , если никакие его две точки не лежат по разные стороны от прямой, содержащей какую-либо его сторону.

Такое употребление слова «выпуклый» вполне естественно: если многоугольник является выпуклым, то вместе со своей внут­ ренностью он образует выпуклое множество в смысле гл. 3. Когда мы говорим о площади выпуклого многоугольника, мы имеем в виду площадь соответствующей выпуклой многоугольной области.

530