Определение |
|
|
|
|
|
П л о щ а д ь ю |
к р у г а , |
ограниченного |
окружностью С, назы |
вается предел площадей вписанных в С правильных многоуголь |
ников. |
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, по о п р е д е л е н и ю |
S n-+S. |
b) Что происходит с а? Апофема а всегда немножко меньше, |
чем г, поскольку катет прямоугольного треугольника меньше |
гипотенузы. Но когда п очень велико, |
разность между а и г |
очень мала. Итак, |
|
|
|
|
с) |
Что происходит с р? По определению длины окружности С, |
имеем |
|
|
|
|
|
(3 ) |
|
|
|
|
Р - + С . |
Объединяя (2) и (3), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 п |
|
|
|
|
|
~2 аР ~*~2 г С - |
|
Поэтому |
ввиду |
того |
что |
Sn= j |
ар, имеем |
Sn^ ~ r C .
Но из (1) мы знаем, что Sn -+S. Следовательно,
S - і л С .
Так как С = 2яг, то
А — ~ г - 2пг = лг2.
Таким образом, эту, конечно известную вам, формулу можно, на конец, считать доказанной.
Теорема 16.2
Плоищдь круга радиуса г равна яг2.
Задачи к § 4
1. |
Найдите длину окружности и площадь круга |
радиуса 3; |
5; ]С 2; я ._ |
2. |
Найдите площадь круга и длину окружности |
диаметра 6; 9; 2; я V 12. |
3. |
Чему равен радиус круга, площадь которого |
равна 49л? 20л? 25? 16? 18л3? |
4. |
Чему равна площадь круга, если длина |
окружности |
равна 6л? 16л? |
|
12? 2л? |
|
|
5.Вычислите площадь металлической шайбы (мы ее считаем плоской), если дано, что диаметр шайбы равен 3 см , а диаметр отверстия равен 1 см.
^Считайте, |
что п равно 3 j .j |
6. Докажите |
следующую |
теорему: |
О т нош ение площ адей |
двух кругов равно |
квадрат у от нош ения |
их радиусов. |
7.Д ва круга имеют соответственно радиусы 3 и 12. Чему равно отношение их площадей?
8.Д ве окружности имеют длину 7 и 4л. Чему равно отношение площадей соответствующих кругов?
9.И длина окружности и периметр квадрата равны 20 см. Какая площадь
больше — круга или квадрата? На сколько больше?
10. Дан квадрат |
с длиной |
стороны |
10. Найдите площадь области, заключен |
ной между вписанной в него и описанной около |
него окружностями. |
11. Диаметр каждой из маленьких |
полуокружностей равен |
радиусу |
большой. |
Чему |
равна |
площадь |
заштрихованной |
на нашем |
рисунке |
области, |
если ра- |
'диус |
большой полуокружности |
равен |
2? |
|
|
|
рон |
A D и ВС . D Y и B Y — дуги окружностей с центрами |
соответственно X |
и Z. Определите площадь заштрихованной области. |
|
13. Шар |
радиуса |
10 |
см пересечен |
плоскостями, находящимися на расстоянии |
4 см |
и 5 см от его |
центра. Какое сечение имеет большую |
площадь? Вычис |
лите |
отношение |
площадей этих |
двух сечений. |
|
14. К ольцом называется область, ограниченная двумя концентрическими окруж ностями. Найдите площадь кольца ограниченного окружностью, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 6, и окружностью, описанной около этого треугольника.
15. Даны две концентрические окружности и хорда большей окружности, касательная к меньшей. Докажите, что площадь кольца, образованного данными окружностями, равна площади кр у га, диаметром которого служит эта хорда.
16*. Полуокружности, изображенные на этом рисунке, имеют своими диаметрами стороны
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольного |
А А В С . |
Буквы |
х, |
у, г, |
т |
и п — это |
площади указанных |
на рисун |
ке |
областей. |
Докажите, |
что x-\~y — z |
(тео |
рема о «луночках |
Гиппократа»). |
|
|
17*. Все стороны изображенного здесь двенадцати угольника, восемь вершин которого лежат на окружности, конгруэнтны, а все его углы — пря мые. Найдите площадь той части круга, кото рая лежит вне многоугольника, если дано, что длина каждой стороны многоугольника равна 4.
18+. Окружность длины 4л вписана в ромб с пери метром 20. Вычислите общую площадь всех областей, ограниченных окружностью и ромбом.
19+. Около окружности описана равнобедренная трапеция с основаниями 2 а и 6 см. Опреде лите площадь той части трапециональной обла сти, которая лежит вне окружности.
2 0 *+. Мишень, при стрельбе по которой любитель имеет равные шансы попасть как в яблочко, так и в любое из колец, можно построить следующим образом. Пусть расстояние между
двумя параллельными лучами Р М и A N есть Р А = г — радиус яблочка. Окружность с цен
тром Р и радиусом г пересекает луч РМ
в точке Q. Пусть перпендикуляр к Р М в точ
ке Q пересекает луч Ä N в точке В . Тогда проведем окружность радиуса P B = r L с цен тром Р . Затем повторим этот процесс, проводя
перпендикуляры к лучу |
Р М в точках R |
и |
S |
и концентрические окружности радиусов Р С = |
г 2 |
и P D = r s. Разумеется, |
можно |
построить |
и еще |
несколько колец. |
|
|
|
|
a) Выразите г и г 2 и г 3 |
через |
г. |
|
|
B ) Покажите, что площади яблочка и трех ко |
лец (т. е. а, Ь, с и d ) |
равны. |
|
|
|
§5. ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА
При определении длины дуги окружно сти мы пользуемся той же схемой, что и при определении длины всей окружности. Сна
чала разобьем данную дугу А В на п кон |
|
Совсем, |
груэнтных дуг. |
Затем проведем соответствующие хорды. |
как |
и раньше, |
устанавливается, что все эти хорды |
имеют одну |
и ту |
же длину |
I, а |
сумма их длин равна |
|
|
|
|
|
|
р — п і. |
|
|
Длина дуги |
ÄB |
по |
о п р е д е л е н и ю есть предел, |
к |
которому |
стремится р, |
когда п |
становится все больше и больше. |
|
В следующем обсуждении полную окружность удобно рассматри вать как дугу с мерой 360. Тогда длину окружности можно считать длиной дуги с мерой 360.
Теорема 16.3
Если две дуги имеют равные радиусы, то их длины пропорцио нальны их мерам.
Длина A B Длина А'В'
В простых случаях легко понять, почему это верно. Если вы удвоите меру дуги, то и длина ее удвоится; если вы разделите меру дуги на 7, то и длина ее разделится на 7 и т. д. Но полное доказательство этой теоремы слишком трудно для нашего курса. Поэтому мы будем ее рассматривать как новую аксиому.
На основании этой теоремы (или аксиомы) мы можем вычислять длины дуг.
Теорема 16.4 |
|
|
|
|
Если дуга окружности радиуса г имеет меру q, |
то длина |
дуги равна |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть С —длина окружности |
радиуса г. |
По теореме 16.3 |
|
|
|
|
к |
- |
с |
|
|
q |
~ |
360• |
|
|
Но С = 2яг. Следовательно, |
|
|
|
|
L |
_ |
2пг |
|
|
J |
~ |
ш |
|
|
и , |
|
|
|
|
L —JL |
• яг. |
|
|
|
180 |
|
|
Определения
Пусть AB — дуга окружности с центром Q и радиусом г. Объединение всех отрезков QP. где Р — любая точка AB, назы
вается |
с е к тором. |
Дуга AB |
называется д у г о й этого сектора, |
а г — его р а д и у с о м . |
|
|
|
|
Мы |
определяем площадь |
сектора по той же схеме, которой |
мы пользовались при определении площади круга. |
С помощью |
такого |
же рода доказательства |
получаем следующую теорему: |
Теорема |
16.5 |
|
|
|
|
Площадь сектора |
равна |
половине произведения |
его радиуса |
на длину его дуги. |
|
|
|
|
Коротко:
S - I r i .
Существует простой способ, позволяющий запомнить эту фор мулу. Площадь сектора круга фиксированного радиуса г должна быть пропорциональна длине его дуги. (И это действительно верно.) Когда данная дуга есть полная окружность, то площадь равна
ш-2 = у О , где С = 2пг. |
Следовательно, |
для сектора с дугой |
длины L и с площадью S мы должны иметь |
|
L c r |
|
|
S |
2 |
с |
1 |
Т |
L |
|
с , т. е . S |
2 |
rL. |
Пользуясь формулой для длины дуги L (см. теорему 16.4), получаем:
Теорема |
16.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если сектор имеет радиус г, а дуга его имеет меру q, то пло |
щадь сектора равна |
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что |
при q = 360 |
из |
теоремы следует, |
что 5 = лг2, |
как |
и должно быть. |
|
|
|
|
Задачи к § 5 |
|
|
|
|
0 |
1. |
Радиус окружности равен 18. |
Какую |
длину |
|
имеет |
дуга |
в |
60°? 90°? 120°? 150°? 180°? |
270°? |
|
2. |
Чему |
равен |
радиус окружности, |
если |
ее |
дуга |
|
|
в 45° имеет длину Зл? |
|
|
|
|
3. |
Чему |
равен |
радиус окружности, |
если |
ее |
дуга |
|
|
в 72° имеет длину 4я? |
|
|
|
|
4. |
AB и |
CD — дуги |
в 60°, но длины |
их не равны. |
|
|
Р — центр |
обеих |
дуг. Какую длину имеют дуги |
|
|
A ß и CD, |
если Р А = 6 и ЛС = 3? |
|
|
|
|
|
|
18 |
Геометрия |
|
|
|
|
545 |
