Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 257

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

\

5.Длина дуги в 60° равна 1 см. Найдите радиус дуги и длину хорды, соеди­ няющей ее концы.

6.

Объясните

различие ■ между мерой

дуги и длиной дуги.

 

 

7.

Радиус

круга

равен 10.

Какую

площадь

имеет сектор с

дугой в 90°?

72°?

 

180е?

216°?

324°?

 

 

 

 

 

8. Сектор

круга

радиуса 2

имеет

площадь

л. Какую меру

имеет дуга

этого

 

сектора?

 

 

 

 

 

 

 

9.Сектор круга радиуса 6 имеет площадь 15л. Какую длину имеет дуга этого сектора?

10. Минутная стрелка больших часов на башне общественного здания имеет длину 180 см. Какое расстояние проходит конец минутной стрелки за 5 ми­ нут? Какое расстояние проходит он за одну минуту?

11. При проектировании очень высоких зданий инженеры должны допускать

их колебательные

движения, типичные для небоскребов. Высота Импайр

Стейт Билдинг, имеющего

102 этажа,

составляет 380 м. Если здание

такой

высоты описывает

дугу в

Iе

какое расстояние перемещается

взад и

, то на

вперед его верхний этаж?

12.Сегмент круга есть область, ограниченная дугой окружности и хордой этой дуги. Укажите метод вычисления площади сегмента круга.

13.Найдите площадь сегмента круга, если дано, что

радиус круга г и мера т A B дуги равны:

а) г = 12;

т A B =

60;

 

Ь )г =

6;

m A ß = 1 2 0 .

14*. Найдите

площадь

сегмента

круга,

если дано,

что радиус

круга

г

и мера т A B

дуги

равны:

 

а) г = 8;

 

т А В =

45;

 

Ь)

л = 1 0 ;

т /15 =

30.

15*. В окружность радиуса

6

вписан

правильный

восьмиугольник. Найдите площадь той части круга,

которая

лежит

вне

восьмиугольника.

 

 

 

16*. Радиус

каждой

из дуг

окружностей,

образую­

щих шестилепестковый цветок, равен

радиусу

окружности, содержащей внешние концы всех ле­

пестков.

Чему

равна

площадь фигуры,

если

этот

радиус равен 1?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Приводной

ремень

обегает два

шкива,

как

пока­

зано. Шкивы имеют радиусы 6 см и 30 см, а рас­

стояние

между

их^ центрами равно

48 см.

Найдите

длину ремня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18*. Приводной ремень обегает два шкива

так,

что

они вращаются в противоположных направлениях.

Шкивы

имеют радиусы

6

см

и 18 см,

а

расстоя­

ние между их центрами равно 48 см.

Найдите

длину ремня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

546

Конкурсная задана

Выведите формулу для площади овала. Овал мы

строим следующим образом.

Пусть

A B и CD — перпен­

дикулярные

диаметры

окружности

радиуса г. Проведем

полуокружность A D B . Затем

из точки

А как

из центра

опишем дугу

радиуса

A B , ведущую

от

точки

В до точки

G пересечения с прямой АС. Точно так же из В как из центра опишем дугу радиуса A B , ведущую от точки А

до точки Н пересечения с прямой ВС . Наконец, прове­ дем дугу GH радиуса CG с центром С. Найдите площадь овала A D BG H .

Вопросы и задачи для повторения

1.Является ли выпуклый многоугольник выпуклым множеством?

2.Определите правильный многоугольник.

3.Около окружности диаметра 10 описан шестиугольник. Чему равна площадь шестиугольника, если его периметр равен 28?

4.Сравните апофему правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности.

5.Сравните апофему правильного многоугольника и радиус описанной около него окружности. (При ваших вычислениях вы можете считать, что сторона многоугольника имеет данную длину I.)

6.Выпуклый многоугольник имеет 13 сторон. Чему равна сумма мер его 13 внешних углов?

7. Сколько^сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма мер углов которого

8.Какую меру имеет каждый угол правильного пятиугольника? шестиуголь­ ника? восьмиугольника? десятиугольника?

9.Чему равна апофема правильного многоугольника с площадью 225 и пери­ метром 60?

10.Длина окружности равна С, а радиус г. Чему равно отношение С/г?

11.Какой радиус имеет окружность, если ее длина равна площади ограничен­ ного ею круга?

12.Площадь круга в 6 раз больше длины ограничивающей его окружности. Чему равен радиус круга?

13. Д ве концентрические окружности имеют радиусы 5 и 13. Найдите радиус круга, площадь которого равна площади кольца, ограниченного двумя дан­ ными окружностями.

14. Радиус одной окружности в 4 раза больше радиуса другой. Чему равно отношение их диаметров? их длин? площадей ограниченных ими кругов?

15.Длины двух окружностей равны 6 я и Юл. Чему равно отношение площа­ дей ограниченных ими кругов?

16.Сравните площади равностороннего треугольника, описанного около окруж ­ ности, и равностороннего треугольника, в нее вписанного.

17. Покажите,

что площадь

круга

диаметра d

равна

i n d1.

18. Что

может

пропустить

больше воды: три односантиметровые трубы или

одна

трехсантиметровая?

(Труба

измеряется

своим

внутренним диаметром.)

18*

547

 

19.

Дано,

что

длина

стороны

равностороннего Д

А В С

 

равна

 

6

и что

Р ,

Q и R — середины его

сторон.

 

Д уги

PQ,

P R и QR

имеют

своими

центрами

вер­

 

шины треугольника. Найдите площадь и длину

 

границы

области

 

PQR.

 

 

 

 

 

 

20.

Площадь

квадрата

равна

площади

Круга

диамет­

 

ра 2. Какую длину имеет сторона квадрата?

 

2 1 *. Периметр

квадрата равен длине некоторой ок­

 

ружности.

Какая

площадь

больше: квадрата

или

 

круга? Найдите отношение площади квадрата к

 

площади

круга.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 *. Квадрат

вписан

в

девяностоградусный

сектор

 

радиуса

г.

Выведите формулу

для

площади

за­

 

штрихованной области.

 

 

 

 

 

 

2 3 *. Каждая вершина фигуры

А ВС является

центром

 

противоположной дуги. Эта фигура

обладает тем

 

интересным свойством, что если вращать ее между

 

двумя параллельными прямыми, которые в какой-то

 

момент

с

ней

соприкасаются,

то,

совсем

как

 

окружность, она

 

будет

в с е в р е м я

соприкасать­

 

ся с этими двумя прямыми. Пусть радиус каждой

 

дуги равен

г. Выведите формулу для

площади фи­

 

гуры

А В С

и формулу для ее периметра.

 

 

Конкурсная задача

Видели ли вы когда-нибудь сверло для высверли­

вания

квадратных

отверстий?

Такое

сверло

было

изобретено в

1914

г. Д ля того чтобы

его

сделать,

нужно

просто

воспользоваться

треугольной

фигурой,

о которой говорилось выше в

задаче 23. Эту фигуру

называют т реугольником Р ело,

по имени Франца

Рело

(1829 — 1905), впервые установившего ее свойство как кривой постоянной ширины.

Вы можете совсем легко сконструировать сверло для высверливания квадратных отверстий. Приступите к этому так. Из куска толстого картона вырежьте квадрат со стороной 10 см. Получившееся отверстие понадобится вам для проверки. Затем на отдельном куске картона постройте равносторонний треуголь­

С

С

548

ник с той же стороной. Проведите циркулем нужные дуги с центрами в вер­ шинах треугольника. Вырежьте построенный вами треугольник Рело. Нужно проверить, что он будет вращаться в квадратном отверстии и что при этом он всегда соприкасается с каждой стороной отверстия. Теперь вам остается

сконструировать

сверло.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если вы хотите

узнать побольше о кривых

постоянной ширины и о других

задачах,

связанных

с ними,

то вы

можете обратиться к книге

Г. Радемахера

и О. Теплица «Числа и фигуры»1).

 

 

 

 

 

!)

М .,

«Наука»,

1966,

тема

24.

(См. также

§ 7

книги: И.

М.

Я г л о м

и

В . Г .

Б о л т я н с к и й .

Выпуклые

фигуры. М. — Л .,

Гостехиздат,

1951.)

ТЕЛА И ИХ ОБЪЕМЫ

§ 1. ПРИЗМЫ

Допустим, что нам даны две параллельные плоскости и мно­ гоугольная область в одной из них.

На наших рисунках данная область обозначена буквой /?;

она

лежит в плоскости Ех.

__

пер­

В каждой точке Р

области R восставим отрезок РР' ,

пендикулярный плоскости Ег и соединяющий Р с некоторой точ­ кой Р' второй плоскости Е. Объединение всех таких отрезков называется прямой призмой. Область R называется нижним ос­ нованием, или просто основанием, призмы. Если (как это обычно и считают) плоскости Ег и Е2 горизонтальны и Е2 лежит н ад Еѵ

то

мы можем

представить

себе

прямую призму как тело,

кото­

рое

заполняется по мере

того,

как основание

движется

вверх

от

Ег к Е2.

тело называется прямой призмой

потому, что вос­

 

Описанное

ставленные нами отрезки были перпендикулярны к плоскости ос­ нования (образовывали с ней п р я м о й угол *). Мы можем по-

1 У глом

м еж ду

прямой I и

(пересекающей эту прямую) плоскост ью Е на­

зывается

н а и м е н ь ш и й

из

углов между прямой I и принадлежащими Е

(и пересекающими I)

прямыми

(подобно тому как расстоянием от точки А до

плоскост и

Е

называется

н а и м е н ь ш е е

из расстояний между

точкой

А и

принадлежащими Е

точками).

(По этому

поводу см. задачу 14 к

§ 3 гл.

10.)

551

Смотрите также файлы