Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

строить призму другого вида, проведя наши отрезки в любом определенном направлении, не обязательно перпендикулярном пло­ скости основания. Эта возможность допускается следующим оп­ ределением:

(Заметим, что мы не разрешили в нашем определении прямой / пересекать область R потому, что если бы I пересекала R, то ни один отрезок, проходящий через точку пересечения I и R не был бы параллелен I.)

Определения

Многоугольная область R называется н и ж н и м о с н о в а н и е м

Заметим, что для прямой призмы высота равна расстоянию РР', но для наклонной призмы высота всегда меньше РР'.

Призмы различаются по их основанию: призма, основанием ко­ торой служит треугольная область, называется треугольной приз­ мой и т. д.

Определение

П о п е р е ч н ы м с е ч е н и е м призмы называется пересечение призмы с плоскостью, параллельной плоскости ее основания. (Мы предполагаем, что это пересечение не пусто.)

Теорема 17.1

Все поперечные сечения треугольной призмы конгруэнтны ее основанию.

552

ками. Когда мы говорим, что они конгруэнтны, мы имеем в виду, что конгруэнтны соответствующие треугольники.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, как на нашем рисунке, основа­ нием призмы служит Д АВС вместе со своей внутренностью и пусть D, Е и К —точки, в которых поперечное сечение пересе­

кает отрезки А А', ВВ' и СС'. Тогда AD\\FC, так как оба эти •

когда две параллельные плоскости пересекаются какой-нибудь

Следствие 17.1.1

Два основания треугольной призмы конгруэнтны.

Это очевидно, так как верхнее основание является одним из поперечных сечений.

Теорема 17. 2 (теорема о поперечных сечениях призмы)

Все поперечные сечения призмы имеют одну и ту же площадь.

5 5 3

есть сумма площадей конечного числа треугольных областей (од­ ной области, если призма треугольная). Площадь S есть сумма площадей соответствующих треугольных областей, входящих в S. Так как конгруэнтные треугольники имеют одну и ту же пло­ щадь, то эти суммы для R и S будут одинаковы.

Следствие 17.2.1

Основания призмы имеют одну и ту же площадь.

Мы будем по большей части рассматривать призмы, основа­ ниями которых служат выпуклые многоугольные области. Под выпуклой многоугольной областью мы понимаем выпуклый много­ угольник вместе с его внутренностью. В таких случаях мы можем говорить о ребре и о вершине основания.

зок ÂB — ребром основания. Отрезки АА' и BW' называются боковыми ребрами призмы. Область, определяемая параллелограм­ мом А А'В'В, называется боковой гранью призмы. Теперь мы повторим все сказанное, несколько уточнив его.

554

Теорема 17.3

Боковые грани призмы являются тараллелограммными обла­ стями» *.

Чтобы это доказать, нам нужно убедиться, что АА' \\ВВ' и AB і| A 'B '. Аргументы?

Следствие 17.3.1

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольными областями.

Доказательство? (Мы знаем, что I ±_ЕХ и что АА'\\1.)

Определения

Объединение боковых граней призмы называется ее боковой п о в е р х н о с ть ю . Объединение боковых граней призмы и двух ее оснований называется ее п о л н о й п о в е р х н о с ть ю .

которой служит параллелограммная область.

П р я м о у г о л ь н ы м п а р а л л е л е п и п е д о м называется призма, основанием которой служит прямоугольная область.1

1То есть параллелограммами, взятыми вместе с их внутренностями.

555

Таким образом, все грани параллелепипеда (боковые, нижняя и верхняя) являются параллелограммными областями. А все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольными облас­ тями.

Определение

К у б о м называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны.

Задачи к § 1

1. а) Изображенная здесь призма называется ...

призмой.

B) Область ABCD называется . . . .

c) Отрезок АА' называется . . . .

d) Расстояние Н Н ' называется . ...

e)Если бы отрезок АА' был перпендикулярен плоскости основания, то призма называ­ лась бы ... .

f)Параллелограммная область ВВ'С'С назы­ вается . . . .

g)Объединение боковых граней называется . . . .

3. Высота прямой пятиугольной призмы, изображенной на правом рисунке,

6.Найдите высоту прямой призмы, площадь боковой поверхности которой равна 143, а периметр основания равен 13.

Т1

5 5 6