Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Основания этой призмы являются равносто­ ронними треугольниками, а боковые гра­ ни — прямоугольными областями. Дано, что длина ребра основания равна 6, а высота призмы 10. Вычислите площадь полной по­ верхности призмы.

10.Какую площадь имеет боковая поверхность куба с ребром 5? Чему равна площадь пол­ ной его поверхности?

11.Одно из поперечных сечений треугольной

12.Диагональ куба равна 16 У 3. Найдите площадь его полной поверхности.

13.Прямоугольный параллелепипед имеет изме­ рения 4, 7 и 12. Вычислите площадь его полной поверхности.

области, наклоненные к основанию под углом в 60°. Плоскость, перпендикулярная большему ребру основания, пересекает параллелепипед по прямоугольной области. Найдите площадь полной поверхности.

5 5 7

§ 2. ПИРАМИДЫ

Тело, изображенное ниже, является пирамидой с основанием R и вершиной V.

V

Определения

Даны многоугольная область R в плоскости Е и точка V,

ков VQ, конец Q которых принадлежит области R. В ы с о т о й пирамиды называется расстояние (измеренное по перпендикуляру) от вершины V до плоскости Е.

с плоскостью, параллельной основанию (как и прежде, в предполо­ жении, что эта плоскость действительно пересекает пирамиду).

Очевидно, что по мере того, как горизонтальная плоскость движется от основания пирамиды к ее вершине, площадь попе­ речного сечения все время убывает, до тех пор, пока она не станет равной нулю (это произойдет, когда плоскость сечения пройдет через вершину пирамиды). В следующей теореме мы

558

Теорема 17.4

Каждое поперечное сечение треугольной пирамиды, заключен­ ное ме^сду основанием и вершиной, является треугольной обла­ стью, подобной основанию. Если h — высота пирамиды и k — рас­ стояние от вершины до плоскости поперечного сечения, то пло­ щадь поперечного сечения равна площади основания, умноженной на число £2//г2.

Обозначения, которыми мы пользуемся в доказательстве, ука­ заны на рисунке. Основанием служит область, определяемая тре­ угольником АВС; Д А 'В 'С —это соответствующий треугольник, представляющий собой поперечное сечение пирамиды. Отрезок есть перпендикуляр, опущенный из вершины V на плоскость осно­

потому что это длины соответствующих сторон подобных треуголь­

559

Это доказывает первую половину нашей теоремы. Вторая ее половина следует теперь из теоремы 12.9, так как отношение каж­ дой пары соответствующих сторон треугольников А'В'С' и АВС равно kjh.

Площади поперечных сечений ведут себя так не только для треугольных пирамид; независимо от того, какую форму имеет основание пирамиды, отношение площадей всегда равно tPjh2.

Теорема 17.5

Отношение площади поперечного сечения к площади пирамиды равно k2lh \ где h — высота пирамиды, а k —расстояние от вер­ шины пирамиды до плоскости поперечного 'сечения.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как в опре­ делении многоугольной области, разобьем

На нашем рисунке показан случай, когда п —3. Пусть площади соответ­ ствующих треугольных областей, обра­ зующих поперечное сечение, равны Si, S2, ..., Sn-

560