Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

что нам и требовалось доказать.

Эта теорема в свою очередь позволяет нам доказать, что спра­ ведлива

Теорема 17.6 (теорема о поперечных сечениях пирамиды)

На рисунке изображены треугольные пирамиды только для

до соответствующей вершины. Тогда площадь каждого из попе­ речных сечений равна (k2/h2) S, и потому эти площади одинаковы.

561

5. Высота квадратной пирамиды равна 10, а сторона основания 15. Найдите площадь поперечного сечения, плоскость которого удалена от вершин на расстояние 6.

6. Площадь основания пятиугольной пирамиды равна 72 кв. см, а высота 12 см. Чему равна площадь поперечного сечения, отстоящего от основания на 4 см?

7 . Плоскость поперечного сечения пирамиды, имеющего площадь 108 кв. см, удалена от вершины на 9 см. Основание пирамиды имеет площадь 180 кв. см. Найдите высоту пирамиды.

правой пирамиды.

562

9.Пирамида, основанием которой служит Правильный многоугольник, а вер­ шина которой равноудалена от каждой вершины основания, называется

правильной пирамидой.

Докажите, что высота, опущенная из вершины правильной пирамиды на ее основание, пересекает основание в центре описанной окружности (т. е. в точ­ ке, равноудаленной от всех вершин основания).

10. Ребро основания правильной четырехугольной пирамиды имеет длину 10 см, а высота пирамиды равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

11.Докажите, что боковые грани правильной пирамиды ограничены конгруэнт­ ными равнобедренными треугольниками.

12.Высота каждой боковой грани правильной пирамиды называется апофемой пирамиды. Покажите, что площадь боковой поверхности правильной пира­ миды равна половине произведения апофемы пирамиды на периметр ее осно­ вания.

13.Найдите площадь полной поверхности правильной пирамиды, высота кото­ рой равна 15, а основанием которой служит квадрат со стороной 16.

14*. Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пи; а миды, если дано, что ребро ее основания равно 8, а ее высота равна 12.

15+. Дана произвольная треугольная пирамида A BCD . Какая плоскость пере­ секает эту пирамиду по параллелограммной области?

Конкурсная задача

§ 3 . О Б Ъ Е М Ы П Р И ЗМ И П И Р А М И Д . П Р И Н Ц И П К А В А Л Ь Е Р И

Теперь мы перейдем к задачам определения объемов различ­ ных тел. При решении этих задач мы вновь встречаемся со мно­ гими из тех идей, исходя из которых мы находили площади мно­ гоугольных областей. Наше обсуждение будет, однако, менее фор­ мальным, чем в рл. 11, и не будет включать полного набора аксиом, позволяющих шаг за шагом оправдать все, что мы делаем.

563

Тем не менее мы сформулируем две главные аксиомы, которые

для площади прямоугольника. Для объемов тел аналогичный прием не проходит, и потому нам приходится принять более силь­ ную аксиому.

Аксиома 23 (аксиома единицы объема)

Объем прямоугольного параллелепи­ педа равен произведению площади его основания на высоту.

Конечно, любую грань параллелепипеда можно рассматривать как его основание. Но мы всегда получим одно и то же число, потому что в каждом случае произведение Sh площади основания на вы­ соту равно произведению любых трех ребер, имеющих общий конец (ибо в обозначениях нашего рисунка S = ab).

Чтобы понять, о чем идет .речь в следующей аксиоме, пред­ ставим себе сначала физическую модель. Мы можем получить тело, очень похожее на квадратную пирамиду, сложив кучку тон­ ких (скажем, картонных) квадратиков последовательно убывающих размеров. На левом рисунке изображена точная пирамида, а на правом — приближенная ее модель из квадратных карточек.

Теперь допустим, что мы просверлили, в нашей модели узкое отверстие, ведущее от вершины к некоторой точке основания, и вставили в него стержень так, чтобы он пробивал каждую квад­ ратную 'пластинку. Мы можем тогда, не меняя положения ниж­ него конца стержня на основании «пирамиды», наклонить стер-

5 6 4

стим, что мы имеем два тела, основания которых лежат в одной плоскости. Можно считать, что эта плоскость горизонтальна.

Если все горизонтальные поперечные сечения двух наших тел, нахо­ дящиеся на одном и том же уровне, имеют одну и ту же площадь, то два наших тела имеют о д и н и то т же объем.

Это верно по следующей причине. Снова сделаем модель каж­ дого из наших тел, сложив его из плоских (например, вырезан­ ных из картона) пластинок (разумеется, теперь уже не квадрат­

соответствующая пластинка во второй модели. Так как пластинки мы условились брать очень тонкие, то наши модели будут очень близки к данным телам. Фактически, взяв достаточно тонкие плас­ тинки, мы можем сделать и модели сколько угодно близкими к этим телам. Следовательно, объемы этих тел совпадают.

Принцип, который иллюстрируется последним рисунком, назы­

кость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причем образованные при пересечении обоих тел поперечные сечения имеют одну и ту же площадь, то эти два тела имеют один и тот же объем.

5 6 5