Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 252

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Как мы увидим очень скоро, принцип Кавальери является клю чом к вычислению объемов многих тел.

Теорема 17.7

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть h и S — высота и площадь осно вания данной призмы. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с той же высотой h и той же площадью основания S, основание которого лежит в той же плоскости, что и основание данной призмы. Из теоремы о поперечных сечениях призмы мы знаем, что все поперечные сечения обеих призм имеют ту же площадь S. В силу принципа Кавальери отсюда следует, что обе призмы имеют один и тот же объем. Так как в силу аксиомы 23 пря моугольный параллелепипед имеет объем Sh, теорема доказана.

Теорема 17.8
Если	две пирамиды	имеют одну и ту же площадь основания
и одну	и ту же высоту, то они имеют один и тот же объем.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Расположим наши призмы так, чтобы

их основания лежали в одной и той же плоскости, а сами призмы

566

располагались по одну сторону от этой плоскости. По теореме о попе речных сечениях пирамиды соответствующие поперечные сечения наших двух пирамид имеют одну и ту же площадь. В силу прин ципа Кавальери это означает, что объемы пирамид одинаковы.

Теорема 17.9

Объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так	как в	условии теоремы говорится
о т р е у г о л ь н о й пирамиде,	то мы возьмем треугольную приз
му с тем же основанием и с той же		высотой.

(Мы имеем право взять п р я м у ю треугольную призму, как на нашем рисунке. Выбор призмы не имеет значения; важно лишь, чтобы точки Р и Е находились на одинаковом расстоянии от плоскости АВС.)

Теперь разобьем нашу призму на три пирамиды, как показано на правом рисунке. Обозначим эти пирамиды, перечислив их вер шины в каком угодно порядке. Таким образом, мы имеем три новые пирамиды ADEF, ABEF и AFBC. Если их нарисовать от дельно, то они будут выглядеть примерно так:

5 6 7

1°. Пирамиды ADEF и ABEF имеют один и тот же объем.

Д о к а з а т	е л ь с т в о .	Мы можем рассматривать F как вер
шину каждой	из наших	пирамид. Тогда их основаниями служат

треугольные области, определяемые /\A D E и Д АВЕ. Так как
эти треугольники конгруэнтны, то пирамиды ADEF и ABEF
имеют о д н у	и ту же	площадь основания. Кроме того, они
имеют одну и ту же		высоту, так как высота каждой из них
равна расстоянию от F до плоскости, содержащей их основания.
Следовательно,	рассматриваемые две пирамиды имеют один и тот
же объем.
2°. Пирамиды ABEF и AFBC имеют один и тот же объем.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Мы можем рассматривать Л как вер

шину каждой из наших пирамид. Тогда их основаниями служат

треугольные области, определяемые /\В Е Р и /\F B C .	Так как
эти треугольники конгруэнтны, то пирамиды ABEF и AFBC име
ют одну и ту же площадь основания. Кроме того, они	имеют и

одну и ту же высоту, так как высота каждой из них равна рас стоянию от А до плоскости, содержащей их основания. Следова тельно, они имеют один и тот же объем.

3°. Пирамида AFBC и первоначальная пирамида РАВС имеют один и тот же объем.

(Доказательство очевидно: эти пирамиды имеют одно и то же '

основание и одну и ту же высоту.)			S — площадь Д АВС и
Теперь почти все уже сделано. Пусть
h — высота	пирамиды РАВС. Тогда	объем		нашей призмы равен
Sh (теорема	17.7). Если V —объем	каждой		из	рассматриваемых
пирамид, то ЗѴ = Sh. Следовательно,
	V = ~ S h ,
что нам и требовалось доказать.		для	всех		вообще пирамид.
Тот же результат сохраняется и

Теорема 17.10

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

568


Д о к а з а т	е л ь с т в о . Дана пирамида с площадью основания
S и высотой	h. Возьмем треугольную		пирамиду с той же пло
щадью основания и с той же		высотой	так, чтобы основание ее
лежало в той же плоскости,		в которой	лежит основание данной

пирамиды. В силу теоремы о поперечных сечениях пирамиды, по перечные сечения этих двух пирамид, лежащие на одинаковом уровне, имеют одинаковую площадь. Следовательно, на основании принципа Кавальери эти две пирамиды имеют один и тот же объ

ем. Поэтому объем каждой из них равен у			Sh,	что и требовалось
доказать.
Задачи к § 3
1.	Высота прямоугольного параллелепипеда равна 7,		а его	основание имеет 4 и
	5. Найдите его	объем.
2.	Прямоугольный	металлический бак 30 см X

X 30 см X 30 см наполнен водой. Сколько лит ров воды он содержит?

3.Некоторые слитки серебра отливают в форме прямой призмы, основанием которой (концом слитка) служит трапеция. Основания этой тра

пеции	равны 7,5		см и	10 см, а	высота слит
к а — 5	см.	Длина	слитка	равна 30 см.		Сколько
весит	один	слиток, если		удельный	вес	серебра
равен	10,5	г/см3?

4.При погружении куска металла в прямоугольный бак с водой, имеющий основание 50 см X 40 см, уровень воды поднялся на 0,75 см. Какой объем имеет этот кусок металла?

5.Чтобы подсчитать стоимость устройства для кондиционирования воздуха в

проектируемом здании, подрядчик должен вычислить объем воздуха, заклю ченного в прямоугольном здании, изображенном на рисунке. Здание имеет в длину 36 м и в ширину 12 м. Карнизы крыши по обе стороны строения

находятся на высоте 3 м, а наиболее	высокая	тЬчка	крыши — на	высоте
4,5 м. Найдите объем здания.
6. Прямая прямоугольная призма имеет	высоту 18	см и	основание размером
6 см X 8 см. Плоскость, определяемая	диагональю основания и одной из
вершин верхнего основания, отсекает от призмы		пирамиду. Найдите		объем
пирамиды.

569

7. Найдите объем правильной четырехугольной пира миды, высота которой, как и ребро основания, равна 12. Найдите также площадь ее боковой по верхности.

8.Выведите формулу для объема правильной четырех угольной пирамиды, боковые грани которой явля ются равносторонними треугольниками со сторо ной а.

9.Если сложить две правильные четырехугольные

пирамиды, боковые грани которых являются рав носторонними треугольниками, их основаниями, то получится восьмигранное тело, называемое п р а вильным октаэдром . Докажите, что объем V пра вильного октаэдра с ребром I вычисляется по фор

муле Ѵ = ^ У 2 I 3.

10. Вычислите объем и площадь полной поверхности правильного октаэдра с ребром 3.

1 1+ . Докажите, что объем "правильного октаэдра опре

деляется по формуле V = g- di d2 d3, где d v d2 и

d3 — длины его диагоналей.

12. Поперечное сечение пирамиды отсекает маленькую пирамиду с объемом 2 и высотой 1. Объем боль шой пирамиды равен 54. Чему равна высота этой пирамиды?


13. Р — A B C D E — пятиугольная							пирамида,		площадь
основания которой			равна 64,			а высота P F			равна 12.	Р
Точки V, W, X ,		Y	и Z,		как		показано		на рисун

ке, являются серединами боковых ребер.									Найдите
площадь	поперечного			сечения			V W X Y Z .		(Почему
это — поперечное		сечение?)				Найдите		объем мень
шей пирамиды. Чему равно отношение объемов
двух пирамид?
14. Часть пирамиды, ограниченная основанием, попе
речным сечением и трапецеидальными областями
боковых граней,		называется				усеченной		пирамидой.
Вершинами усеченной пирамиды, которую можно
усмотреть	на рисунке			к	задаче 13, являются точ- А
ки А, В , С, D, Е,				V,	W,		X , Y и Z. Найдите
объем этой усеченной				пирамиды.

15*. Площадь поперечного сечения пирамиды равна 20, а площадь основания 45. На каком расстоянии от вершины находится плоскость поперечного се чения, если высота пирамиды равна 6? Чему равно отношение объемов двух пирамид?

16*. Плоскость, параллельная основанию правильной четырехугольной пирамиды, пересекает ее высоту в точке, расстояние которой от вершины равно

~расстояния от вершины до основания. Высота

пирамиды равна 16, а ребро основания 24. Най дите площадь боковой поверхности и объем усе ченной пирамиды.

5 7 0