11. Бункер для хранения зерна имеет форму, показанную на рисунке. Радиус цилиндри ческой верхней части равен 2,1 м. Общая высота бункера равна 8,4 м, а высота ко нической части 3,6 м. Найдите вместимость бункера.
12. В цилиндре содержится конус. Основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина конуса лежит на верхнем основа нии цилиндра. Напишите формулу, выра жающую (через радиус основания г и вы соту цилиндра h) объем части пространства, ограниченной поверхностями конуса и ци линдра и верхним основанием цилиндра.
13*. Тело из задачи 12 пересечено пло скостью, параллельной основаниям цилиндра
иравноудаленной от их плоскостей. На
рисуйте вид |
сверху |
пересечения этого |
тела |
и плоскости. |
Чему |
равна площадь |
этого |
пересечения, |
если радиус цилиндра равен 4? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. В |
прямой |
круговой цилиндр (см. рисунок) |
вписан |
прямой |
круговой |
конус. Плоскость |
Е |
параллельна |
основанию |
цилиндра |
и уда |
лена на |
14 |
см |
от |
его |
основания. |
Высота |
конуса равна |
21 |
см, |
а |
радиус основания — |
6 см. Найдите площадь пересечения плоско сти Е с частью пространства, заключенной между двумя поверхностями.
15+ . Усеченный конус имеет высоту 8, а ра диусы его верхнего и нижнего оснований равны 4 и 6. Чему равен его объем? (См. задачу 14-к § 3.)
§ 5. ОБЪЕМ ШАРА И ПЛОЩАДЬ ЕГО ПОВЕРХНОСТИ
Шаром называется сфера вместе с ее внутренностью. |
Сфера, |
ограничивающая шар, называется поверхностью шара. |
|
До сих |
пор лучшим средством для вычисления объемов для |
нас служил |
принцип Кавальери. Чтобы применить этот принцип |
к задачам, |
связанным с шаром, |
нам нужно подыскать другое те |
ло, имеющее на каждом уровне |
поперечные сечения той |
же пло |
щади, что и шар. Поэтому первое, чем нам нужно сейчас занять ся ,—это найти площади поперечных сечений шара. Сделать это совсем не трудно. Горизонтальные поперечные сечения шара ра диусом г являются кругами. Если поперечное сечение удалено на расстояние а от центра шара и радиус его равен t, то из теоре мы Пифагора следует, что
С1_ г2 _ а2_
'S=Krznaz
Следовательно, площадь поперечного сечения, удаленного от цен тра на расстояние а, равна
Sa = nt2= л(г2— а2) = пг2— па2.
Эта последняя формула имеет прозрачный геометрический смысл: Sa есть площадь кольцеобразной области, заключенной внутри окружности радиуса г и вне окружности радиуса а, как это показано на рисунке. Такая область называется кольцом.
Теперь мы построим тело, имеющее своими поперечными сече ниями такого рода области,
Возьмем горизонтальную плоскость Е, касательную к сфере. В этой плоскости возьмем круг радиуса г. На нем как на осно вании построим прямой круговой цилиндр высоты 2г. Пусть Q — середина оси цилиндра, т. е. вертикального отрезка, соединяю щего центры его оснований. Построим два конуса с вершиной Q, основаниями которых служат верхнее и нижнее основания ци линдра.
Тело, лежащее внутри цилиндра и вне конусов, обладает нуж ным нам свойством: каждое из его поперечных сечений является кольцом, и поперечные сечения, удаленные на расстояние а от Q, имеют площадь л(г2а2). Следовательно, объем этого тела равен
объему |
нашего шара. |
вычислить: он равен раз |
Но |
объем |
этого нового тела легко |
ности объема |
цилиндра и объемов двух |
конусов. Это даеті |
|
яг2 • 2г — 2 • у яг2— 2яг3 — |
я/-3 = яг3. |
Итак, мы доказали следующее: |
|
Теорема |
17.16 |
|
|
Объем шара радиуса г равен у яг3. |
|
Существует способ, позволяющий с помощью этого результата найти площадь поверхности шара. Рассмотрим шар радиуса г. Возьмем немножко больший шар радиуса r-\-h. Тело, заключен ное внутри большого шара и вне меньшего, называется шаровым слоем; как оно выглядит, можно понять из рисунка. Пусть
|
|
|
|
|
|
площадь |
поверхности |
шара равна |
S и объем шарового слоя ра |
вен V. |
Тогда |
V приближенно равно Sh, |
|
и если h мало, то это приближение являет |
|
ся хорошим. (Например, если у вас имеется |
|
круглый |
мяч радиуса 20 см и вы покра |
|
сите его очень тонким слоем краски тол |
|
щиной, скажем, в 0,01 см, то общий объем |
|
нужной вам краски будет примерно равен |
|
0,01S куб. см.) Таким образом, отноше |
|
ние V/h |
приближенно |
равно S. |
А при |
|
h -*■0 мы имеем |
|
|
|
Но отношение Vlh |
мы можем |
точно |
подсчитать и увидеть, |
к чему оно стремится, |
когда h -* О. Объем |
V есть разность объ |
емов двух шаров. Следовательно, |
|
|
|
V = у |
я (г -Г h f — у яг3 = |
|л [ ( г + /г)3 — г3] = |
= J я [г3 + 3r2h + 3г/г2 + /I3 — Г3] = ~ я [3гѢ + Зг/і2 -f А®].
Поэтому
у = л (3r2 + 3rh + №) = 4яг2 -f- h (4nr -j- | nfij.
Когда h~+ 0, то второй член стремится, очевидно, к нулю. Таким образом,
V . ,
-г ->- 4лг2. h
Так как, кроме того, мы знаем, что
то получаем:
S = 4лг2.
Итак, мы доказали, что справедлива
Теорема 17.17
Площадь поверхности шара радиуса г равна
S = 4ял2.
Отметим следующий довольно любопытный факт: площадь по верхности шара ровно в четыре раза больше площади его попе речного сечения, проходящего через центр шара.
Задачи к § 5
1. Найдите площадь поверхности .и объем шара радиуса 4.
2.Что больше: площадь поверхности или объем шара диаметра 4?
3.Что больше: площадь поверхности или объем шара диаметра 10?
4. Какой диаметр имеет шар, объем которого равен площади его поверхности?
5. Сферический бак имеет радиус 2,1 м. Сколько литров он вмещает? (Считайте,
что я равно 3 у .
6. Стаканчик для мороженого конической формы имеет 12 см в глубину и 5 см по диаметру верхней части. На него сверху положили две ложки мороже ного в виде полушарий диаметра 5 см. Пере полнит ли мороженое стаканчик, если позво лить ему расстаять?
7.Большой склад имеет форму полушария. Сколько литров краски требуется, чтобы по
красить его |
снаружи, если на окраску его |
пола ушло 50 |
л краски? |
