Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Однако

такое

окончание

доказательства не так

естественно,

как

приве­

денное в

основном

тексте.

Дело

в

том,

что

в доказательстве от

противного

мы

просто

показываем,

что наше допущение

приводит к неверному

утверждению,

все равно к

какому

именно. Поэтому мы берем то,

которое появляется раньше и естественнее всего.

ствительно

вытекает отрицание предположения теоремы. Именно поэтому дока­

зательство

от

противного

основано

скорее

на принципе «Если

из утвержде­

ния А вытекает ложное

утверждение, то

и само утверждение А

ложно», чем

на том, что импликация и ее контрапозиция логически эквивалентны.

Здесь

и в других местах многое можно упростить, употребляя логический

символ

для

отношения «следует».

В этих обозначениях мы можем сказать:

«Если

Р =э- Q и Q ложно, то Р

ложно».

Д р у г о е д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

7 .5. Теорему

7.5 часто доказы­

вают

так:

Д а н о . Д А В С , в котором А В > А С .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . т А С > т A B .

Возьмем на А.В такую точку D ,

что A D =

A C. Проведем биссектрису

А А;

пусть Е — точка пересечения этой биссектрисы с В С . По аксиоме С У С Д А D E

Д

А С Е . Следовательно, т

А A D E — tn

А А С Е . В

силу теоремы о внешнем

угле

т А A D E > т А D B E .

Поэтому т

А С > т

A B ,

что и требовалось

доказать.

В

этом доказательстве молчаливо

подразумевается,

что

биссектриса

А А

действительно пересекает

В С в точке,

лежащей между В

и

С .

«Теорема о

заго­

родке» (из задачи 7 на

стр.

201) гарантирует,

что

это

на

самом деле

так.

Тем

не менее мы считаем, что доказательство на стр. 218— 219 во всяком слу­

чае

проще.

«Если

луч А Е

делит

пополам

внешний

д

D A C

Д

А В С

и

A B — А С ,

то

А Е\\ВС . Эта теорема имеет

д в е обратные,

каждая

из

которых верна.

Д

1°. «Если

А Е

делит

пополам

внешний

D A C

Д

А В С и

А Е II В С

то

А В = = А С » .___

2°. Д ан

Д

А В С .

Ёсли А Е Ц В С

и А В = А С , то А Е

делит пополам

внешний д

D AC».

Теорема о шарнире (теорема 7.9) имеет на

самом

деле т р и

обратные

те­

оремы, из которых верна лишь одна. Д ля того

чтобы

о том, что

следует

по­

К

§ 8 гл. 7. Теорема о шарнире и обратная теорема

Другое доказательство теоремы о шарнире. Теорема о шарнире и обратная

ей

теорема очень

напоминают две основные теоремы о

неравенствах

связы ­

вающих элементы

одного

треугольника. Эта аналогия

наводит на

мысль, что

в доказательстве

теоремы

о шарнире можно было бы воспользоваться теоремой

7.6

(а не

неравенством треугольника). Д оказать теорему о шарнире,

пользуясь

теоремой

7.6, можно, но это доказательство существенно опирается

на

теоремы

о промежуточной

точке и

отделении из § 6 гл. 8.

Д а н о . Д А В С и Д D E F , причем А С — D F , A B — D E , т Е В А С < т

д E D F ,

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . В С > E F .

1°. Построим Д А К С с вершиной

К ,

лежащей

по ту же сторону

от АС,

что и В , так,

чтобы Д

А К С ^ А D E F .

т Д С В К < т

Д В К С ,

Проведем

В К . Если мы

сумеем

показать,

что

то

на основании

теоремы

7 .6

мы

сможем

заключить,

что С К < В С ,

а потому

и

E F < В С .

_ _

Д ВАК',

2°. Проведем биссектрису

A R

пусть М — точка,

в

которой

Доказательство теоремы о медиатрисе-плоскости.

Теорема

8.6

утверждает,

что пространственная медиатриса отрезка является

множеством

всех

точек

пространства

равноудаленных от концов этого

отрезка.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Пусть

Е — медиатриса-плоскость

отрезка

A B (С — середина

 B ). Тогда

1°. Если точка Р принадлежит

плоскости

Е ,

то

Р А — Р В .

2°. Если

РА — Р В ,

то

точка

Р

принадлежит плоскости Е.

Мы

приведем

два

доказательства.

В

первом

из

них

используются

конгруэнтные треугольники; оно рассчитано на

среднего ученика:

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1°. Если

Р =

С,

то

РА — Р В

по

условию.

Если

Р ф С ,

то в

силу

аксиомы 6

С Р

принадлежит плоскости Е , и по определению

прямой, перпендикулярной плоскости, A B

J_ С Р . Отсюда следует, что

L

А С Р ~

В С Р ,

и

так

как

С А = С В

и

С Р =

С Р ,

то

на

основании С У С мы имеем

д

А С Р д ^ А В С Р . Поэтому

РА =

Р В — как соответствующие стороны

этих тре­

угольников.

2°. Если

Р

=

С,

то

точка

Р ,

конечно,

принадлежит

плоскости

Е .

Если

Р Ф С,

то А

А С Р

В С Р

в

силу

ССС. Таким образом,

А А С Р ^

Z. В С Р

и

С Р

X

A B . По

теореме

8.5

плоскость Е

содержит С Р ,

и точка

Р принадлежит

плоскости

Е.

Во втором доказательстве мы пользуемся аналогичной

теоремой

о

м едиа-

т рисе

(теорема

6.2)

и

следствием

6.2.1.

Это

доказательство

рассчитано

на

лучших

учеников:

Д р у г о е д о к а з а т е л ь с т в о .

1°;

Если

Р = С,

то,

очевидно,

РА — Р В .

Если

Р ф С ,

< 1'>

медиатрисой

——

в

плоскости,

содержащей

точки

то СР является

A B

А, В и Р, и потому

по теореме 6.2

Р А — РВ.

2°: Если

Р =

С,

то

точка

Р,

очевидно^ принадлежит

плоскости Е.

Если

Р ф С ,

то

< '>•

медиатрисой

--

в

плоскости,

содержащей

точки

С Р

является

A B

А, В и Р. Так как по

теореме 8 .4

плоскость

Е

содержит

СР,

то

точка

Р

принадлежит этой

плоскости.

К

§ 5

гл.

8.

Перпендикулярные

прямые

и

плоскости:

резюме

Доказательство

теоремы

8.8

Теорема

8.8. Через

данную

точку

проходит

одн а

и

т олько

од н а

плоскост ь,

перпендикулярная

данной прямой.

Ч а с т ь

I.

Через

данную

точку

данной

прямой

проходит

п о

к р а й н е й

м е р е

о д н а

п л о с к о с т ь ,

перпендикулярная

этой

прямой.

Это — теорема

8.3, доказанная в

основном

тексте.

Ч а с т ь II.

Через

данную

точку

данной

прямой проходит

н е

б о л е е

ч е м

о д н а

п л о с к о с т ь ,

перпендикулярная

этой

прямой.

Ч а с т ь

III. Через

данную

точку,

не л еж а ­

щ ую н а

данной прям ой,

проходит

п о

к р а й ­

н е й

м е р е

о д н а

плоскост ь,

п ерпендикуляр­

ная

этой прямой.

Д а н о :

Прямая

I

и точка

Р ,

не принадле­

жащая I.

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь :

Существует

плоскость Е , проходящая через точку Р и пер­

пендикулярная прямой I.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

1°. Существует пря­

мая

т ,

проходящая

через точку

Р и

перпен­

дикулярная

прямой

I.

П усть

Q — точка

пересечения

прямых

т

и

/,

а F —- плоскость,

определяемая

точкой

Р

и

прямой I.

2°. Существует точка

R , не

лежащая в плоскости F . П усть

G — плоскость,

определяемая прямой I и точкой

R .

В

плоскости

G сущ ествует прямая

п,

перпендикулярная прямой / в точке Q.

3°.

По

аксиоме

8

существует

плоскость

Е ,

содержащая

прямые т и п .

Тогда Е _L I

по основной теореме о перпендикулярах.

Ч а с т ь

IV.

Через

данную

т очку,

не

леж ащ ую

н а

данной

прямой,

про­

ходит н е

б о л е е

н е м о д н а

плоскост ь, перпендикулярная

этой

прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Допустим,

что

существуют две плоскости

Е г

и Е г,

каждая

из которых

перпендикулярна

прямой

/ и

содержит

точку

Р .

Если

плоскости

Е г и £ 2

пересекают

прямую I в

о д н о й

и той

же

точке

Q, то

мы

получаем две

плоскости, перпендикулярные

прямой

I в

точке

Q,

что

противо-

речит части

II теоремы

8

.8.

Если

же плоскости Е 1 и Е 2 пересекают прямую I

в р а з н ы х

точках

Л и В ,

то

Р А

и Р В являются

разными прямыми, прохо­

дящими через точку

Р и

перпендикулярными /, что

противоречит теореме 6.3.