8.Шар и круговой цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через диаметр
шара.
9. Диаметр первого шара равен радиусу второго.
a) Чему равно |
отношение радиусов |
этих шаров? |
B ) Чему равно |
отношение площади |
их поверхностей? |
c)Чему равно отношение их объемов?
10.Диаметр первого шара равен одной трети радиуса второго. Ответьте на вопросы задачи 9 для этих шаров.
11.Архимед показал, что объем шара равен двум третям объема наименьшего прямого кругового цилиндра, содержащего этот шар х. Проверьте, так ли это.
12.Диаметр Луны приблизительно^ составляет четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли.
13.Вода покрывает примерно три четверти земной поверхности. Сколько мил
лионов километров земной поверхности занимает суша? (Считайте, что диа метр Земли равен 12 750 км и что я равно 3,14.)
14. На этом рисунке шар вписан в прямой круговой конус. A B — диаметр осно вания и С — вершина конуса. А А В С — равносторонний. Найдите объем конуса, если дано, что радиус шара равен г.
15*. Объем первого шара равен половине объема второго. Чему равно отноше ние их радиусов?
16*. Инженер, |
рост которого |
равен 180 см, пришел осмотреть новую сфериче |
скую цистерну для хранения воды. |
Он |
забрался |
в пустую цистерну, и, |
когда он поднялся на место, |
находящееся |
в 5 |
м 40 см над точкой, в кото |
рой цистерна |
опирается |
на |
|
землю, |
его |
голова |
|
коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город |
|
потребляет |
в |
час |
40 000 |
л |
воды, |
он |
немедленно |
__ |
рассчитал, |
на |
сколько |
часов |
может хватить |
пол- |
> |
ной цистерны. К ак он |
это |
сделал |
и какой) он |
по |
|
лучил результат? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 *н. С помощью метода, которым мы вывели площадь |
|
поверхности шара |
(теорема |
17.17), |
покажите, |
что |
|
площадь |
боковой |
поверхности |
прямого кругового |
|
цилиндра |
|
равна |
2лга, |
где |
/-— радиус |
основания |
|
цилиндра |
и а — его высота.1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 По преданию, Архимед просил изобразить соответствующий чертеж на своей могиле.
Конкурсная задача
Шар и прямой круговой цилиндр имеют равные объемы. Радиус шара равен радиусу основания цилиндра. Сравните площадь поверхности шара с пло щадью полной поверхности цилиндра.
Вопросы и задачи для повторения
1.Постарайтесь, не заглядывая назад, выписать все формулы для площадей и объемов, встретившиеся вам в этой главе, и указать, что эти формулы выражают.
2.Дополните каждое предложение соответствующими терминами.
a) |
У каждой призмы имеются ... и ... основание. |
B ) Боковые грани призмы являются ... областями. |
c) |
Боковая поверхность призмы есть ... е е ___ |
d)Если основание призмы является параллелограммом, то призма назы вается ___
e)Если две треугольные пирамиды имеют конгруэнтные основания, то их объемы пропорциональны их ___
3. Дополните каждое предложение соответствующими терминами. a) Каждое боковое ребро прямой призмы ... основанию.
B ) Поперечное сечение пирамиды есть ... пирамиды и плоскости, ... осно ванию.
c)Площади двух поперечных сечений пирамиды пропорциональны ... их ...
от вершины . . . .
d)Если конус и цилиндр имеют конгруэнтные основания и равные высоты, то объем цилиндра в ... больше объема конуса.
e)Объемы двух шаров пропорциональны ... их радиусов, а площади их поверхности пропорциональны ... их радиусов.
4. Основанием прямой призмы служит правильная шестиугольная область. Ребро основания имеет длину 2 см , а боковое ребро — 7 см. Найдите пло щадь боковой поверхности призмы. Найдите площадь поперечного сечения, удаленную на 5 см от основания.
5. На |
полке |
в магазине стоят две банки земляничного |
варенья одного |
и того |
же |
сорта. Одна банка в |
2 раза выше другой, но зато ее диаметр в |
2 раза |
меньше. |
Высокая банка |
стоит 23 цента, а низкая 43 |
цента. Какую |
купить |
выгоднее? |
|
|
|
|
6. |
Чему равен объем |
конуса, если его высота равна 6, а диаметр основания 10? |
7. |
Объем |
квадратной |
пирамиды |
равен |
384 |
куб. см, |
а. высота 8 см. Какую |
|
длину имеет ребро ее основания? Чему равна площадь боковой поверхности |
|
пирамиды? (Предполагается, |
что вершина |
пирамиды |
проектируется |
в центр |
|
основания.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Основаниями |
полушария |
и |
конуса |
служат конгруэнтные круги, |
лежащие |
|
в одной плоскости. Плоскость, проходящая через вершину конуса и парал |
|
лельная плоскости |
оснований, касается полусферы. Чему равно отношение |
|
объема |
конуса |
к объему |
полушария? |
|
|
|
|
9.Основанием тетраэдра служит треугольник, стороны которого имеют длину 10, 24 и 26. Высота тетраэдра 20. Найдите площадь поперечного сечения, удаленного от основания на расстояние 15.
10.Найдите объем и площадь поверхности шара, если дано, что диаметр шара
равен |
18. |
11. Объем |
конуса равен 4 0 0 к у б .с м , а радиус основания 5 слі. Найдите высоту |
конуса.
12.Шар радиуса 3 слі имеет в середине пустоту радиуса 2 см. Чему равен объем шарового слоя?
13.Докажите, что объем шара диаметра d равен -g- лсР.
14. Объем пңрамиды с |
высотой |
1 2 см равен |
432 к у б .с м . Найдите площадь по |
перечного сечения, |
поднятого |
на 3 см над |
основанием. |
15.Даны два конуса. Высота первого вдвое меньше высоты второго, а радиус осно вания первого вдвое меньше радиуса основания второго. Сравните их объемы.
16.В прямой круговой цилиндр вписан шар так, что он касается обоих осно ваний. Чему равно отношение объема шара к объему цилиндра? поверх ности шара к боковой поверхности цилиндра?
17.В цилиндрический бидон радиуса 12 см и высоты 25 см погрузили шар диаметра 20 см, после чего бидон заполнили водой. Найдите объем, зани
маемый водой, оставшейся в бидоне, после того как шар вынули. Какова будет высота воды в бидоне?
18*. В шар диаметра 25 вписан прямоугольный параллелепипед с основанием 12 X 20. Найдите объем части шара, лежащей вне параллелепипеда.
19*. Основание прямого кругового конуса имеет диаметр 12 см, а высота конуса
равна |
12 см. |
Конус наполнили водой. Затем в |
конус опустили |
шар |
так, |
что он |
оперся |
на стенки конуса. Над водой при этом оказалась ровно по |
ловина |
шара. |
Сколько воды осталось в конусе |
после того, как |
шар |
был |
вынут? |
|
|
|
|
|
Р
2 0*. Высота прямого |
кругового конуса равна 15, а радиус основания 8. В ко |
нусе просверлили |
цилиндрическое отверстие диаметра 4, ось которого сов |
падает с осью конуса. В результате осталось тело, изображенное на рисунке справа. Чему равен объем этого тела?
Конкурсная задача
I |
|
отрезку |
_ _ |
и не при |
Дан прямоугольник □ A B C D . Отрезок PQ параллелен |
A B |
надлежит плоскости прямоугольника □ |
A BCD . Проведем |
отрезки |
PA , |
P D , QB |
и QC. Длина перпендикуляра, опущенного из любой точки отрезка PQ на пло |
скость прямоугольника □ A BC D , равна h. Пусть AD = a, АВ = Ь и’ PQ = |
c. Д ока |
жите, что объем тела ABCD PQ равен |
ah (2й + с). |
|
|
|
ДОПОЛНЕНИЯ1
К § 2 гл. 6: Доказательства от противного
A. Рассуж дения от |
противного в |
повседневной |
жизни. |
Примеры |
1 |
и 2 |
§ б гл. 2 и задачи 3 и 4 на |
стр. |
173 |
служат |
|
хорошими |
иллюстрациями |
рас- |
суждений от противного в повседневной жизни. Если |
|
вы |
|
сначала |
разбе |
рете эти подготовительные примеры, то увидите, |
что |
нетрудно |
|
натренировать |
учащихся |
в |
|
применении |
|
доказательств |
от |
|
противного |
|
в |
геометрии. |
|
Это |
станет |
первым |
важным |
шагом |
к |
пониманию |
сущности |
|
метода |
рассуждения |
от противного и осознанию естественной |
роли |
этого |
метода |
в |
доказательст |
вах теорем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что утверждения в примерах 1 и 2 (стр. 172) |
являются |
отрица |
тельными. Это не случайно: основная |
идея |
метода |
доказательства |
|
от |
против |
ного как раз и состоит |
в том, |
чтобы |
установить |
лож ност ь |
некоторого утверж |
дения, показав, что оно |
приводит к противоречию. Поэтому и следовало |
|
ожи |
дать, |
что элементарные |
примеры на применение этого 'метода |
имеют |
вид |
отри |
цательных |
(негативных) |
высказываний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B. Теорема 3.2 как образец доказательства |
|
от |
противного. |
|
При |
обсужде |
нии с учащимися метода доказательства от противного |
мы |
|
рекомендуем |
поль |
зоваться как |
образцом теоремой |
3.2. |
Сначала |
|
докажите |
в |
классе |
эту |
теорему, |
а затем, вернувшись назад, вновь разберите доказательство, |
выделяя |
су |
щественные шаги, характеризующие доказательства от |
противного. |
Полное |
доказательство |
со |
вставленными |
«наименованиями» |
этих |
шагов |
вы глядит'при |
мерно так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
3 .2 . |
Е сли прям ая |
пересекает |
не |
содерж ащ ую |
ее |
плоскост ь, |
т о их |
пересечение |
содерж ит одну |
точку.} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д а н о . |
|
1°. |
Прямая |
/ |
|
пересекает |
плоскость |
|
Е по крайней |
мере |
в |
одной |
точке |
Р . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°. Плоскоств |
Е не содержит прямой /. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
|
Прямая I |
пересекает плоскость Е |
только в точке Р . |
Быть может, вам прежде всего захочется отметить, что утверждение, кото |
рое вы собираетесь доказать, либо верно, либо неверно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Утверждение: прям ая |
I |
пересекает |
плоскост ь Е в |
единственной |
точке Р — |
либо |
верно, |
либо |
неверно». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1°. |
Д опуст им , что |
ут верж дение, |
|
кот орое |
мы |
хотим |
|
доказат ь, |
неверно. |
«Пусть рассматриваемая теорема неверна; иными словами, |
пусть данная |
прямая |
I, |
пересекающая |
не содержащую ее плоскость Е |
в |
точке |
|
Р , |
пересе |
кает эту плоскость и в некоторой другой точке Q». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°. |
П ост роим |
цепь рассуж дени й, |
приводящ ую |
к каком у-либо |
ут верж дению , |
кот орое |
долж н о |
быт ь |
неверным , |
поскольку |
оно |
|
прот иворечит |
чему-то |
уж е |
нам извест ному. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Точки Р и Q лежат в плоскости Е , а прямая |
I содержит |
Р |
и Q. |
Следо |
вательно, в силу аксиомы 6 прямая / |
|
принадлежит плоскости |
Е . |
Это — невер |
ное утверждение, так как оно противоречит предположению о том, |
что |
плос |
кость |
Е |
н е |
с о д е р ж и т |
прямой |
/». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°. Зам ет им , |
что правильны е |
рассуж дения |
привели |
н ас |
к |
|
неверном у |
за к |
лючению. Следоват ельно, |
мы |
исходили |
из неверного |
допущ ения. М ы |
допуст или, |
что т еорем а |
неверна. Значит , он а |
верна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Дополнения |
эти |
выборочно |
заимствованы |
из |
«учительского |
издания» |
книги |
Моиза — Даунса, |
чтобы продемонстрировать читателю-учителю общий |
стиль |
методических установок авторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
Итак,,допущение «прямая I пересекает плоскость Е еще и в некоторой другой точке Q неверно. Таким образом, прямая / пересекает плоскость Е т о л ь к о в точке Р».
C. |
Логический принцип, |
используемый в доказательстве от |
против |
ного. |
Доказательство от |
противного начинается |
с допущения, |
кото |
рое может показаться учащимся неестественным. Именно, допускается, что
утверждение, которое мы собираемся доказать, |
неверно. Ученик |
может |
не |
понять |
причину этого шага подобно тому, |
как шахматист-любитель |
может |
не |
увидеть |
смысла первого хода шахматного |
мастера: |
любитель видит |
лишь один |
данный ход, а мастер предвидит его дальнейшие последствия. Мы начинаем доказательство от противного с допущения о ложности нашей теоремы для того, чтобы появилась возможность применить один фундаментальный логи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческий принцип. Этот принцип |
состоит |
в следующем: |
|
|
|
|
|
|
|
«Е сли из ут верж дения |
А выт екает |
заведом о |
лож ное ут верж дени е |
(прот и |
воречащ ее |
известному |
нам |
ф акт у), т о и |
сам о ут верж дение |
А лож но». |
|
|
|
Этот принцип дает нам метод, позволяющий установить, что утверждение А |
л о ж н о , |
но каким |
образом его можно употребить для доказательства |
того, |
что |
рассматриваемая |
теорема |
в е р н а ? |
Здесь |
необходимо |
использовать |
одну |
элементарную |
общелогическую |
идею, на которой |
базируется |
весь |
этот метод |
доказательства, |
Доказываемое |
утверждение либо |
в е р н о , |
либо |
н е в е р н о . |
Д о |
тех пор пока мы не сумеем исключить одну |
из этих альтернатив, |
каждую |
из |
них следует считать возможной. Допустим |
теперь, |
что |
утверждение, |
кото |
рое |
мы |
хотим |
установить, |
неверно, и покажем, |
|
что |
это |
допущение |
влечет |
за |
собой |
заведомо |
ложное |
утверждение, т. е. |
|
утверждение, |
противоречащее |
чему-то известному |
нам, |
По |
указанному выше фундаментальному логическому |
принципу это означает, что наше первоначальное допущение (о том, что
устанавливаемое утверждение неверно) |
само |
ложно. |
Таким |
образом, воз |
можность того, что теорема неверіна, исключается, и, |
значит, |
наша теорема |
верна. |
|
|
|
|
D. Доказательство от противного с |
точки |
зрения |
дедуктивной логики. |
Рассуждение от противного является практическим инструментом для доказатель ства математических утверждений. Разъясним вкратце связь между этим мето
дом |
и тавтологиями |
дедуктивной |
логики. |
Достаточно |
сделать два замечания: |
одно |
краткое, |
а другое — более пространное. |
|
|
|
1°. Фундаментальный логический принцип, неявно подразумеваемый в дока |
зательстве от |
противного, гласит: |
«Е сли |
из ут верж дения |
А выт екает лож ное |
ут верж дение, |
т о и |
сам о ут верж дение А ложнощ |
|
|
|
2°. Отношение |
метода доказательства |
от противного |
к |
понятию противопо |
ложного |
утверждения. При объяснении логических основ метода доказательства |
от противного |
часто говорят, что доказательство от противного |
опирается на |
тот факт, |
что |
импликация и ее контрапозиция эквивалентны, т. |
е. что выска |
зывание «если р , то q» эквивалентно высказыванию «если не q, то не р». Хотя
|
|
|
|
|
|
|
такое |
рассуждение |
и нельзя счесть |
неправильным, в нем упускается |
из вида |
одно |
существенное |
обстоятельство. |
В доказательстве |
от противного |
мы пока |
зываем, что допущение о ложности |
некоторого умозаключения приводит к лож |
ному |
утверждению, |
причем это последнее обычно является |
ложным не потому, |
что противоречит условию нашей |
теоремы, а потому, |
что |
оно противоречит |
какой-либо предыдущей аксиоме или теореме. Например, в доказательстве тео
ремы |
9.8 |
(стр. |
269) мы |
останавливаемся, |
установив, |
что / 1|/2. Поскольку |
I ф /2) |
то |
это |
означает, |
что сущ ествуют |
две прямые, |
параллельные пря |
мой /2 и проходящие через одну точку, что противоречит аксиоме парал
лельности. |
|
|
|
|
|
|
Можно |
закончить |
доказательство |
этой |
теоремы, в |
самом деле установив, |
что из |
не q |
следует не |
р: |
|
|
|
Р и параллельна пря |
« ... |
Тогда по теореме 9,5 прямая |
/ |
содержит точку |
мой 12. |
По |
аксиоме построения углов І і Ф |
I, |
и так как в силу аксиомы парал |
лельности существует только одна прямая, проходящая через точку Р и парал
лельная прямой /2, то это |
означает, что прямая /х не параллельна /2. Но это |
противоречит предложению, |
что ||/2». |