ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 267
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о
Утверждения |
Аргументы |
1. |
Луч |
GA противоположен |
|
лучу |
GE. |
2. |
L AGB пополнителен L BGE. |
|
3. |
т L AGB-\-m L BGE = 180. |
|
4. |
С5 1 GC- |
|
5. |
т L BGC — 90. |
|
6. т L BGE — m L EGC-\- 90. |
||
7. |
т L AGB + m L EGC + 90 = |
|
8. |
= 180. |
|
m L AGB + tn L EGC = 90. |
||
9. |
L AGB дополнителен L EGC. |
Аксиома пополнения.
Определения перпендикулярности и прямого угла.
Подстановка шага 6 в шаг 3.
30. |
Пусть AB и ЛС—противоположные лучи. |
Точки Е, F и Я лежат по |
||||||
одну и ту же сторону от прямой |
AB |
Точки |
Е |
и Н лежат по противопо |
||||
ложные стороны от прямой BF. |
Точки |
А |
и |
Н |
лежат по одну сторону от |
|||
прямой BF. Далее, BF |
j_ АС и BE J_ |
BH, |
a m L F B E = 20. Сделайте рису |
|||||
нок |
и найдите: |
|
|
|
|
|
|
|
а) т L ЕВА ; |
b) |
т L FB H ; |
|
с) т L ЕВС. |
||||
31. Существует ли в плоскости треугольника |
такая точка, которая не лежит |
|||||||
ни вне, ни внутри как |
самого треугольника, |
так и каждого из его углов? |
||||||
32. Дан |
Д АВС и |
точка Р в той же плоскости. Точки Р и А лежат по одну |
||||||
|
<■* |
Точки |
|
|
|
|
|
<1> |
сторону от ВС |
Р и В лежат по одну сторону от АС. |
a) Внутри какого угла лежит точка Р?
|
B) Должна ли точка Р лежать внутри Д АВС? |
|
|
|
||||||||
33. |
Если |
вам |
дано, |
что |
L а дополнителен |
L y , |
a |
L b |
дополнителен |
L x и |
||
|
L X ^ |
L у, |
то какую |
аксиому или теорему вы использовали бы для |
дока |
|||||||
|
зательства того, что L а — L 6? |
|
|
|
|
|
|
|||||
34. |
Верно ли следующее |
утверждение? Если |
прямые |
PQ |
и *RS пересекаются |
|||||||
|
в точке О, то L POR = L QOS. |
|
|
|
|
|
|
|||||
35. |
Д а н о. |
Прямые |
AB, CD, PQ и PS |
лежат |
в |
|
|
|
||||
|
плоскости |
Е и пересекаются в точке |
О, |
при |
|
|
|
этом CD J_ AB. Дополните доказательство того, что
b + g + d — a
4 2
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дважды применяя АСУ, имеем т X COß = &-f-c+ d. |
|||||
|
Но так как CD ..., то т X С О В |
= а. |
Поэтому а = __ |
|||
|
Но X POR и ... являются ... углами, |
так что с — ___ |
||||
|
Подставляя g вместо с, заключаем, что .... |
|||||
36. |
Является ли следующее утверждение правильной переформулировкой акси |
|||||
|
омы построения углов: |
|
|
|
|
|
|
Если даны луч RS и |
число k, |
заключенное между 0 и 180, то существует |
|||
|
ровно один такой луч RP, что т |
X SRP —k. |
||||
37. |
Да н о . |
Рисунок, |
где |
BE X А С |
и |
|
|
X ABG = |
X CBD. |
|
|
|
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
X QBE с^. |
^ X ÜBE.
38.На левом рисунке X 2 и X 3 —пополнительные углы. Докажите, что / . 1 ^ x 4 .
39. Докажите, |
что если на |
рисунке справа X i = X с, то х а ^ X d. |
|
40. А — В —С |
на прямой I. Точки D и Е |
лежат по противоположные стороны |
|
от прямой I, причем расположены так, |
что, проведя лучи BD и BE, полу |
||
чаем X CBD ^ X С В Е |
Доказать, что |
|
тX ABD = m X ABE.
41.Джим и Джордж должны были записать в форме «Если ... , то ...», следу ющее утверждение:
«Две пересекающиеся прямые пересекаются только в одной точке». Джордж написал: «Если Р —точка, то прямые Іг и /2 пересекаются только в Р». Джим написал: «Прямые /і и /2 пересекаются только в одной точке, если они пересекаются и различны». Прав ли какой-нибудь из мальчиков?
42+. Если ÖÄ, |
OÈ и ОС— три |
различных луча на плоскости, никакие два |
||
из |
которых |
не противоположны, то верно или ошибочно каждое из следу |
||
ющих утверждений? |
|
|||
a) т |
X А О В - \ - т |
X ßOC = m X А О С . |
||
b) т |
X А О В |
+ т |
X В О С + т |
X ЛСС = 360. |
(Вспомните, что достаточно только одного исключения, чтобы все утвержде ние оказалось ошибочным.)
ИЗ
43+. Можно ли внутренность треугольника определить как |
пересечение трех |
|
полуплоскостей? |
Сделайте рисунок. Запишите определение внутренности |
|
Д Л5С, считая, |
что X — произвольная точка внутри Д |
АВС. (Сошлитесь |
на определение внутренности угла, данное в § 1.)
44+. Определяется ли внутренность Д АВС полностью пересечением внутрен ностей любых двух углов этого треугольника? Сделайте рисунок и сформу лируйте определение. Равносильны ли предыдущие определения?
45*+. Объясните, почему верно |
следующее утвержде |
А |
ние. |
АВС в точке D такай, |
|
Если прямая I пересекает Д |
|
что A — D — B, и I не пересекает ВС, то прямая I должна пересечь отрезок АС в такой точке Е, что А — Е — С.
КОНГРУЭНТНОСТЬ
§ 1. ИДЕЯ КОНГРУЭНТНОСТИ
Грубо говоря, две геометрические фигуры конгруэнтны, если они имеют в точности один и тот же размер и одну и ту же форму. Например, все треугольники на этом рисунке конгруэнтны.
В |
P |
H |
Один из способов описать эту ситуацию состоит в следующем. Конгруэнтность изображенных на нашем рисунке треугольников означает, что любой из них можно так наложить на любой другой, что они полностью совпадут. Поэтому для того, чтобы разъяснить смысл утверждения о конгруэнтности двух треугольников, нам нужно объяснить, какие точки куда должны переходить. Например, накладывая Д Л Я С на Д DFE, мы должны совместить вершину А с Е, вершину В с F и вершину С с D. Пары соответствующих вершин можно выписать столбиком:
А <-» Е,
B++F,
С *-+D.
Чтобы выразить конгруэнтность первого треугольника и третьего, нужно сопоставить их вершины так:
А<-> G,
В~ Н , C++J.
Как бы вы сопоставили вершины, чтобы выразить конгруэнтность второго и третьего треугольников?
Схема сопоставления такого рода точек устанавливает взаим но-однозначное соответствие между вершинами двух треуголь ников. Если такая схема «работает», т. е. если треугольники совпадают, когда их вершины предписанным образом совмещены, то это взаимно-однозначное соответствие называется конгруэнтностью, связывающей два данных треугольника. Например, соответствия, которые мы только что выписали, были конгруэнтностями. С дру гой стороны, запись
A**F,
В<-> D,
С <г+Е
117
V
определяет взаимно-однозначное соответствие, но не конгруэнтность, потому что первый и второй треугольники при сопоставлении их вершин по этой схеме не совпадут. Это соответствие приведет ко
многим несуразностям: отрезок AB слишком короток, чтобы нало
житься на FD, отрезок |
АС слишком длинен, |
чтобы совпасть с FE, |
и т. д. |
соответствия можно |
записывать короче, |
Взаимно-однозначные |
||
в одну строку. Например, соответствие |
|
|
|
А <-» Е, |
|
' |
В <r*F, |
|
|
С *-*D, |
|
составляющее содержание первого из разобранных нами приме ров, можно записать в одну строку так:
A B C ^E F D .
При этом следует условиться, что первая буква слева соответствует первой букве справа, вторая буква —второй и третья —третьей:
А В : |
Е F 0 |
♦ t |
M t |
1 |
1 |
Приведем еще один пример. Две фигуры на следующем рисунке имеют один и тот же размер и одну и ту же форму.
Чтобы показать, |
как одну из них можно наложить на другую, |
их вершины нужно сопоставить так: |
|
|
A++F, |
|
В *-* Е, |
' |
с ~ я , |
|
D++G. |
118
Это соответствие является конгруэнтностью, т. е. если вершины совместить указанным способом, то фигуры полностью совпадут. Для краткости это соответствие можно записать в одну строку:
ABCD ** FEHG.
Заметим, что п о р я д о к , в котором записаны сопоставляемые пары, значения не имеет. Наш перечень сопоставляемых пар мож но было бы записать и так:
D <-> G,
В *-* Е,
С++Н,
А**F,
инаше взаимно-однозначное соответствие можно было бы записать
водну строку так:
DBCA «•* GEHF.
Единственное, что существенно,—это то, какие точки соответствуют друг другу.
А
способом. На этом рисунке соответствие
АВС +* FDE
является конгруэнтностью, а соответствие
АВС ** FED
второй конгруэнтностью между теми же двумя треугольниками. Очевидно, что Д АВС совпадает с самим собой; для того чтобы наложить Д АВС на Д Л 5С , его не надо двигать. Если мы усло вимся каждой вершине Д АВС ставить в соответствие т у ж е вер
шину, то получим конгруэнтность
АВС*-* АВС.
Она называется тождественной конгруэнтностью. Но сопоставить вершины этого треугольника можно и по-другому. При соответствии вершины В и С меняются местами, а треугольник совпадает с самим собой. Ясно, что такая конгруэнтность возможна далеко не
всегда; она никак |
не может иметь места, если |
у треугольника |
нет хотя бы двух |
сторон, имеющих одну и ту же |
длину. |
119