Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 265

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Задачи к § 1

В некоторых из нижеследующих задач вам надо решить, конгруэнтны ли две данные фигуры, внимательно изучив рисунок, на котором они изображены. При

этом фигуры,		которые	к а ж у т с я	конгруэнтными при измерении	их с разум
ной	степенью	точности,	можно считать конгруэнтными. (Н икаких		обманов зре
ния эти рисунки не содержат.)
1.	Какие из следующих пар фигур			конгруэнтны?

120

3.Взгляните на фигуры, изображенные ниже. Выпишите столько конгруэнтностей между ними, сколько вам удастся отыскать. Здесь нужно найти ш е с т ь конгруэнтностей (не считая тождественной конгруэнтности, сопоставляющей каждую из фигур саму с собой, но учитывая нетождественную конгруэнтность

между произвольным треугольником и им самим, существующую в том слу чае, когда у этого треугольника есть две конгруэнтные стороны). Вот одна из конгруэнтностей: АСВ+-* LMN .

4. Сделайте то же, что и в задаче 3, для следующих фигур:

	G
5. а) Конгруэнтна ли любая фигура	сама себе?
B ) Если каждая из двух фигур	конгруэнтна третьей, то конгруэнтны ли
они между собой?

c)Конгруэнтны ли стороны квадрата?

d)Конгруэнтны ли стороны прямоугольника?

e)Конгруэнтны ли две противоположные грани куба? {) Конгруэнтны ли две смежные грани куба?

g)Конгруэнтны ли две противоположные грани прямоугольного бруса, имею щего форму кирпича?

h)Конгруэнтны ли две смежные грани кирпича?

121

6. Треугольники каждой из следующих пар треугольников конгруэнтны. Вы

пишите конгруэнтности для каждой из этих пар. (Вот первая конгруэнт ность: A E D — В Е С . )


7. При каких		условиях	следующие пары фигур			будут конгруэнтны?
а)	Д ва отрезка.		Ь)	Д ве	прямые.	с) Д ва	угла,
d)	Д ве окружности.		е) Д ва		квадрата.	f) Д ва	треугольника.
8+. Рассмотрим		пятиугольную		звезду A B C D E .		Выпишите	все конгруэнтности,

сопоставляющие этой звезде ее саму, начиная с (тождественной) конгруэнт ности A B C D E ~ A B C D E .

9+. А	АВ С — равносторонний треугольник, т.		е. A B = В С — АС. Выпишите все
конгруэнтности, сопоставляющие		этому	треугольнику его самого, начиная
с	(тождественной) конгруэнтности	А В С * * А ВС . (Их больше четырех.)

122

10*. Какие		из изображенных		на рисунке	плоских фигур могут быть на
ложены одна на			другую? Для каждой совместимой пары скажите, нужно ли,
для	того	чтобы	совместить	фигуры, повернуть их в пространстве, или до
статочно		поворачивать их в		плоскости,	или можно даже передвигать фи
гуры	в плоскости не поворачивая их?

а)

в)

11*. Какие из изображенных на рисунке тел конгруэнтны?

12*+. Допустим, что изображенный внизу орнаментальный фриз, как и прямая, бесконечно простирается в обе стороны, Рассмотрим горизонтальный сдвиг фриза, переводящий каждое острие в следующее острие на той же стороне прямой. Хочется сказать, что этот сдвиг порождает некоторую конгруэнт ность, совмещающую (бесконечный) фриз сам с собой.

■ѴчѴчѴчѴ -

а) Опишите сдвиги различного типа, которые будут порождать конгруэнт ности, совмещающие фриз с самим собой. Сколько таких конгруэнтно стей существует?

123

b) Опишите два типа сдвигов, порождающих конгруэнтности, совмещающие изображенный ниже фриз с самим собой.

§2. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Впредыдущем параграфе мы не формально объяснили идею конгруэнтности. Дадим теперь несколько точных определений, ко торые позволят нам математически обработать эту идею.

Для	углов и отрезков	легко	точно сказать, что мы имеем
в виду:
Определения
Углы	к о н г р у э н т н ы ,	если	они имеют одну и ту же меру.
Отрезки	к о н г р у э н т н ы ,	если они имеют одну и ту же длину.

Конечно, первое из этих определений является повторением определения из § 4 гл. 4. Очевидно, что имеет место

Теорема 5. 1

Каждый отрезок конгруэнтен самому себе.

Доказательство тривиально, .так как отрезок имеет ту же длину, что и он сам. В последующих доказательствах мы будем обозначать фигурирующую в этой теореме конгруэнтность терми

ном тождественная конгруэнтность.		/_ В,	чтобы указать, что
Точно так же, как мы пишем	А =
конгруэнтны у г л ы /_ А и 1_В,	условимся писать
Ä B QÉCD,
чтобы указать, что конгруэнтны о т р е з к и AB			и CD. Таким обра
зом,
A B ^ C D означает, что		A B —CD,

L А ^ /. В означает, что т /_ А — т /_ В.

Каждое из равенств справа связывает два числа. Каждая из конгруэнтностей слева связывает две геометрические фигуры. Мы не связываем обозначения геометрических фигур знаком = , если не убеждены, что эти две фигуры в точности совпадают

(являются о д н о й фигурой) —а случаи такого рода чрезвычайно редки.

Один такой пример показан на рисунке. Здесь законно на писать

		/ ВА С = Z EAD,
потому	что /_ ВАС и /_ EAD не только конгруэнтны;				ВАС и
/_ EAD —это точно о д ин			и тот же угол, так что связывающая
/, ВАС и £ EAD конгруэнтность —тождественная. Аналогично,
AB и	ВА —всегда	точно	о д и н и тот же	отрезок и	потому
законно	не только	писать	А В ^ В А , но даже	и AB — ВА.

Рассмотрим теперь соответствие

АВС <-* DEF

между вершинами двух треугольников: Д АВС и Д DEF. Оно автоматически устанавливает и соответствие сторон этих треу гольников:

AB~~DË,

J C ^ W ,

BC*-*ËF,

и, кроме того, соответствие их углов:

/ А ++ Z D,

L B ~ Z.E,

Z C - z F .

Теперь мы можем сформулировать определение конгруэнтности, связывающей два треугольника.

125

Определение

Пусть дано соответствие

ABC++DEF

между вершинами двух треугольников. Если конгруэнтна каждая пара соответствующих сторон и каждая пара соответствующих углов, то соответствие АВС ** DEF называется к о н г р у э н т н о с т ь ю , связывающей два данных треугольника.

Когда мы	пишем Д A B C ^ Д / Ж Р ,		мы подразумеваем, что
соответствие	АВС ** DEF является конгруэнтностью. Это очень
хорошее сокращение: короткая		запись	Д АВС ^ Д DEF инфор
мирует нас сразу о шести фактах, а именно о том, что
	ABg^DE,	или	AB = DE,
	A C ^ D F ,	или	АС = DF,
	BC9ÉËF,	или	ВС = EF,
		или	т Z, А = т Z D,
	A B ^ A E ,	или	т /, В —т Z. Е,
	L C ^ L F ,	или	т / _ С ~ т /_F.

В каждой из этих шести строчек конгруэнтность слева озна чает то же, что и равенство справа. Поэтому мы можем пользо ваться любой из этих форм записи в зависимости от обстоя

тельств. Обычно мы будем писать AB = DE вместо AB ^ DE, так как первая запись проще. По той же причине мы будем чаще писать L A ^ £ D, а не т Z. А = т Z.D.

На рисунках конгруэнтность, связывающую отрезки или углы, удобно указывать пометками, как это сделано на рисунке. В этом случае шесть конгруэнтностей, указанных пометками, сообщают нам, что

AABCg^ADEF.

На следующем рисунке пометки сообщают	нам	меньше; и
в самом деле, довольно легко усмотреть, что эти	два	треуголь-

126

ника не конгруэнтны ни при каком соответствии их вершин.

В некоторых случаях нам может быть дана лишь часть ин формации, заключающейся в утверждении о конгруэнтности двух треугольников, и мы все равно сумеем установить, что какое-то определенное соответствие вершин треугольников является конгру энтностью. Так, рисунок внизу указывает, что при соответствии ABC^r^DEF все три пары соответствующих сторон треугольни

ков АВС и DEF и две из трех пар соответствующих углов		кон
груэнтны. Отсюда,	конечно, должно следовать, что и /_ С =	Z F,
так что /\А В С ^	E\DEF. А фактически мы должны уметь	при
ходить к тому же	заключению, обладая еще меньшими знаниями.
В последней группе задач к § 2 вы найдете условия, при		кото

рых можно утверждать, что некоторое соответствие между двумя треугольниками является конгруэнтностью. Как вы увидите, факты этого рода нетрудно изображать на рисунках.

Определения

Говорят, что сторона треугольника з а к л ю ч е н а между уг лами этого треугольника, верціины которых являются концами рассматриваемой стороны.

Говорят, что угол треугольника з а к л ю ч е н между сторо нами этого треугольника, принадлежащими сторонам данного угла.

Например, в изображенном выше ДАВС сторона АС заключена между /. А и /, С, a Z. А заключен между AB и АС.

127

Задачи к	§	2
1. Д ано, что		д	А В Е с д Л DCF.		Дополните сле
дующие утверждения, вписав пропущенные сим
волы.
Соответствие А ... <-*■				. . . C F	является конгру
энтностью.
А А ^			А D.	AB
А	B 9 É - . .
А	Е 9 9 - . . .			Е Ё

2. Дано, что Д MQP Д NQP. Перечислите шесть пар конгруэнтных друг другу элементов (сторон, углов) этих двух треугольников.

3. Для каждой из конгруэнтностей перечислите шесть пар конгруэнтных эле ментов треугольников.

a)	Д	RQF с д	Д А В Х .		(Если хотите, можете сделать набросок этих тре
угольников.)
B )	Д	E H W с д	Д	M R K -	(Не	пользуйтесь	рисунком.)
c)	Д	AZW	Д	B W Z .	(Не	пользуйтесь	рисунком.)

4. Выпишите связывающую два треугольника конгруэнтность, которая опре деляется следующими шестью парами конгруэнтностей, связывающих элементы треугольников:

TK ^ B W - A Ä 9 ÉAB .