Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

a)

Заключен

ли L

Я

между GH и Н К }

B )

Заключена

ли сторона

С К

между

/

С и L b С?

c) Какой угол заключен между GH и ШС?

d) К акая

сторона заключена между

L G и L Ю

( З а м е ч а н и е .

В задачах

7— 13 для

построения углов и отрезков нужно

пользоваться масштабной линейкой и транспортиром.)

7.

Постройте

Д

R S T ,

у

которого

R S =

5

см, R T =

3 см и т L R =

35.

8.

Постройте

Д

АВС,

у

которого

AB =

4 см, т L

А =

45 и т L

В =

60.

Если

построить

несколько треугольников А В С с теми

же данными,

то как

будут

соотноситься

эти. треугольники?

9.

Постройте

A M N P ,

у

которого MN =

6 см, N P — 4

см и РМ = 7 см. Для

того чтобы закончить

построение, вам

может потребоваться циркуль.

10.

Пользуясь одной лищь линейкой, постройте треугольник, никакие две сто­

роны которого не конгруэнтны.

Затем

постройте

второй

треугольник,

кон­

груэнтный

первому, и опишите

шаги, которые вы сделали. Существует лишь

один способ

построения

второго

треугольника по первому или несколько?

Сколькими

из

шести элементов

первого треугольника

вы

воспользовались

при построении второго? Каково наименьшее число попарно конгруэнтных

элементов, необходимое, чтобы гарантировать конгруэнтность самих треуголь­

ников?

11.

Постройте

Д

А ВС , у которого

т L А = 4 0 ,

ЛС =

6 см

и

С В = 4 см. За­

тем

постройте

A DBB,

у

которого т L D = 40,

D F = 6 CM

и РЕ= 4

см.

Обязательно

ли

Д А В С

и д

D E F конгруэнтны?

12.

В

задаче 8

вы

должны

были

прийти к заключению,

что

все

треугольники

А В С , меры

некоторых элементов (сторон, углов)

которых

известны,

конг­

руэнтны между собой, т. е. в с е

соответствующие их элементы конгруэнтны.

В случае, когда это верно, мы

будем говорить, что три данных элемента

определяют треугольник. В

задаче 11

вы должны

были

найти два

некон­

груэнтных

треугольника,

три

элемента которых имеют заданные меры.

А задача 7 — допускает

ли

она

один

треугольник в качестве

решения

или

больше?1) А задача 9? Можно ли указать такие меры углов и отрезков, ко­

торые не задавали бы

ни

о д н о г о

треугольника?

13*.

Постройте треугольник, определяемый каждой системой заданных ниже

мер; если заданные числа допускают

два

треугольника,

то

постройте их

оба. Если можно построить больше двух треугольников

или

нельзя

пост­

роить ни одного, то объясните почему:

конечно много различных!) конгруэнтные треугольники

о д н и м

решением за­

дачи, что противоречит подчеркнутому отказу от использования

знака = для

обозначения

конгруэнтности. Более согласовалась бы

с установками книги

следующая

(к сожалению,

громоздкая) формулировка: допускает

ли задача 7

в качестве решения о д и н

к л а с с конгруэнтных треугольников или больше?

5 Геометрия

129

a) т £ М =

30,

МО — 2,

т £ 0

— 90;

b)

т £

В =

55,

AB =

5,

ВС =

3;

c)

т £

G =

35,

GH — 6,

ЯУ =

4;

d)

A B =

5,

ВС =

3,

АС =

4;

e)

т £ М =

80,

МО =

2,

т £ О — 120;

0

Я Я =

8,

£•/=• =

3,

D F =

4;

g)

D £ == 4,

D F =

8,

m Z

D =

60;

h)

m £

А =

70,

m 2 fi =

60, m £ C =

50.

14*. а) Д

Л ВС

и Д

D £ F

не

пересекаются,

и точка Л4 лежит между В

и С.

Каким из двух символов — =

или ~

— нужно заполнить пропуски,

чтобы

каждое из

следующих

предложений превратилось в осмысленное и по

возможности

верное утверждение?

I)

Д

А В С

... Д

DEF\

II)

т

£

В

... т

£

Е;

I II)

ВС ...

E F ;

V I I )

т

£

А В М

... т £

D E F ;

V I I I )

A B

... DE.

b)

В какой

из

строчек I) — VI I I )

имели бы

смысл

оба символа: =

и

^ ?

c)

Если

бы AB был тем же

самым

отрезком, что

и DE, а точки

С

и F

были

бы различны, то в какой строчке символ

заменился

бы

симво­

лом

= ?

15*.

Д ан

А

АВС . Если

Д

А В С 9 ^ Д

ВА С и Д А В С

Д

АСВ,

то

какое

заключение можно

сделать

относительно

Д АВС? Как

вы

дока­

жете, что ваше заключение справедливо?

16*.

Дано,

что

P C J_ КМ, причем К — Р — М. Точки А и В лежат по ту же сто­

рону от КМ,

что

и С, но точки А

и В лежат

по противоположные стороны

^ '■>

< >

ВСР.

от PC . Точка А лежит по ту же сторону от PC, что и К , и Д А С Р 9 = Д

Докажите,

что

Д

K P А ~

Д

М Р В .

17*.

Если

•

Д

A B C S Ë Д

D E F и Д

D E F ^ Д G H K,

то какое

заключение можно

сделать

относительно

Д

А В С и Д GHK? Как

вы докажете,

что ваше

заключение

справедливо?

Сформулируйте теорему,

обобщающую эту ситуацию.

элементов

некоторого

множества и обладающее следующими

свойствами:

Если

а, Ь и с — любые элементы

данного множества, то

(ii ) а * а

(рефлективность),

(it)

Если

а * b,

то

b * а

(симметричность).

(iii)

Если

а * Ь

и

Ь * с ,

то а * с

(транзитивность).

Поскольку все эти утверждения

верны, мы говорим, что

наше отношение

является

отношением эквивалентности.

a) Показать,

что конгруэнтность треугольников является отношением экви­

валентности.

Вам нужно

объяснить,

почему верно каждое из трех

указанных

утверждений.

В

своем доказательстве вы можете использовать

задачу

17.

B ) Для каждого из следующих отношений выберите подходящее множество,

пары

элементов

которого оно связывает, а затем определите,

какие

из этих

отношений являются отношениями эквивалентности:

«меньше,

чем»,

«равно»,

«обратно»,

«является

одноклассником»,

«проживает

в том

же

городе,

что и»,

«выше, чем», «ходит

быстрее, чем»,

«такой

же мок­

рый,

как».

В

Е

слова «угол, сторона,

угол».) И из этих условий следует, что

A A B C QÜAD E F .

в

Е

5 *

131

сторонам второго. (Буквы

«ССС» заменяют слова «сторона, сто­

рона, сторона».) И здесь

мы должны иметь /\A B C ~ l\D E F .

В

Е

Эти аксиомы мы чаще всего будем применять

к соответствиям

между двумя р а з л и ч н ы м и треугольниками.

Однако мы ви­

дественное) соответствие между треугольником и

им самим;

наши три аксиомы применимы и в таких случаях.

Таким обра­

зом, СУС-аксиому можно проиллюстрировать так;

В

Е

здесь пометки говорят нам, что соответствие

А

АВС ■—АСВ есть СУС-соответствие. Поэтому

мы можем применить СУС-аксиому и заклю­

чить, что Д Л З С ойД Л С Б .

П р е д о с т е р е ж е н и е . Такой вещи,

как ССУ-аксиома, не

существует!

5

Е

ветствием»: две стороны и

не з а к л ю ч е н н ы й между ними

угол Д Л В С

конгруэнтны

соответствующим

элементам Д DEF.

Но это соответствие, очевидно, конгруэнтностью

не является. И

в самом деле,

сторона DF слишком длинна,

Е

слишком велик,