Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Да н о . Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F.

135

ß

Так как наша цель — доказать, что два определенных отрезка конгруэнтны, то вспомним, что мы знаем о конгруэнтных отрезках.

Пометки на рисунке указывают, что FB —FH, и в силу опреде­ ления середины отрезка это действительно так. По той причине

сунке, нужно'установить некоторое соответствие, а затем показать, что мы имеем СУС-соответствие, УСУ-соответствие или ССС-со­ ответствие. Из рисунка видно, что это должно быть соответствие

AFB+-RFH.

Две пары сторон конгруэнтны, так как

T F C^RF H T B ^ ÉFH.

А как обстоит дело с заключенными между ними углами? Если бы оказались конгруэнтными и они, то мы могли ба применить СУС-аксиому. Но они и в самом деле конгруэнтны, потому что эти углы являются вертикальными. Значит, по СУС-аксиоме

наше соответствие является конгруэнтностью. Отрезки AB и RH служат соответствующими сторонами и потому конгруэнтны. Именно это мы и хотели доказать.

В форме записи в два столбца наше доказательство будет выглядеть примерно так:

Да но . Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . AB _J_ RH.

В

136

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверж дения А ргументы

Это доказательство приведено только как образец того, как могла бы выглядеть ваша самостоятельная работа. Существуют пределы «стандартности», которую можно ожидать от формы до­ казательства. Например, в шагах 2 и 3 мы записали конгруэнт­ ность отрезков формулами

AF —RF и FB —FH.

Но это можно было бы записать и по-другому:

АFcxRF и F B ^ F H ,

поскольку конгруэнтность отрезков и равенство их длин означают одно и то же.

Нельзя также строго указать, насколько подробным должно быть доказательство. По мере того как ваши знания и умения будут возрастать, вы сможете записывать доказательства с мень­ шим числом деталей. Ваш учитель явится лучшим судьей: когда вы это заслужите, он укажет вам, что вам будет разрешено пропускать.

Теперь вы понимаете, как обстоит дело, и потому второй наш пример мы изложим с некоторыми пропусками. Ваша задача состоит в том, чтобы заполнить пустые места так, чтобы полу­ чилось доказательство.

н

Пример 2.

Д а н о Ш _\ FR и I A H B ^ £ F H B .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . L A = L F .

137

- Г'

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверж д ения А ргум енты

Задачи к § 4 (часть 1)

1. Перепишите эту задачу на отдельный листок бумаги и заполните пропущен­ ные в ней доказательства.

2. Перепишите задачу на отдельный листок и заполните пропущенные детали.

138

Д о к а з а т е л ь с т в о

полните пропущенные аргументы.

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверждения Аргументы

1. ДС = ОС. Дано.

( З а м е ч а н и е . Хотя утверждения 2 и 4 каж утся очень похожими, одно из них относится к углам, а другое — к треугольникам. Учтите это, формулируя аргу­ менты, обосновывающие утверждения 2 и 4.)4

139

б.Перепишите задачу и дополните доказа­ тельство. Докажите, что если на нашем рисунке G K =H K и М —середина отрез­

ка GH, то z G z Я.

Д о к а з а т е л ь с т в о

ной отрезка GH.

140