ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 273
Скачиваний: 0
10. Д а н о . |
Точки А , |
С , |
D и Е |
коллинеарны, |
причем |
A — E— D и A— D— C. |
||||
Точка В |
не принадлежит А С |
и такова; что А В = С В , |
EB —DB и А Е = CD. |
|||||||
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
L ABE ^ L DBC. |
|
|
|
|||||
11*+. Д а н о , |
что отрезок |
BQ пересекает отрезок Р А в точке R , |
но B Q - ф Р А . |
|||||||
Точки В и Q лежат по £ротивоположные стороны от РА. Точки S и С при |
||||||||||
надлежат соответственно Р Р |
и"ЛR, причем R S = RC, |
~ВС 1 _ Р А |
и QS j_ РА . |
|||||||
Кроме |
того, |
L B A R ^ |
L QPR. Докажите, |
что отрезок Р А |
делит отрезок |
|||||
BQ пополам и что |
L A BC ~ |
L PQS. |
|
|
|
|
||||
12*+. Д а н о . |
L HRE, где RH —RE. Точки М |
и К |
принадлежат сторонам |
|||||||
L-HRE и таковы, |
что R — H — M и R —E— K. |
|
|
|
||||||
Отрезки |
Е М |
|
и Н К |
пересекаются в точке Т . |
L HRT ^ |
L ERT. Докажите, |
||||
что Д М |
Т Н |
|
Д |
К Т Е . |
|
|
|
|
|
|
После того как вы закончили доказательство, часто обна руживаете, что рисунок можно сделать более поучительным, поста вив на нем дополнительные пометки.
Этот рисунок иллюстрирует пример 1 и его доказательство. Пометки на отрезках AF и FR указывают, что конгруэнтность
A F ^ F R была дана. |
Пометки на FH и FB |
указывают, |
что и |
конгруэнтность F H ^ F B была дана. Пометки на |
Д AFB и Д RFH |
||
и восклицательные знаки указывают, что конгруэнтность Д AFB дё |
|||
= Д RFH была доказана. И пометки на AB и RH также |
указы |
||
вают, что конгруэнтность A B ^ R H была доказана. |
|
||
Подобным же образом пометки на следую- |
н |
|
|
щем рисунке сообщают, |
что было дано и что |
|
|
было доказано в. примере 2.
14і
Аналогично наши три аксиомы конгруэнтности СУС, УСУ и
ССС оправдывают все восклицательные знаки на следующих рисунках:
cue
УСУ
ССС
Вообще, это очень полезно — размечать рисунки таким образом, чтобы в них было заключено как можно больше информации. Иногда удается сделать чертеж, дающий полную картину какойлибо теоремы. Например, следующие рисунки полностью излагают теоремы, встречавшиеся нам в гл. 4. Какие это теоремы?
В |
доказательствах часто делают ту ошибку, что предпола |
гают |
доказанным то, справедливость чего надо доказать. Другая |
распространенная ошибка — пользоваться в своем доказательстве как основанием теоремой, в действительности являющейся следствием
142
утверждения, которое собираются доказать. Такие рассуждения на зывают «порочным кругом»; в качестве логических доказательств они ничего не стоят.
Особенно плохой вид порочного круга — использование той тео ремы, которую мы пытаемся доказать, в качестве аргумента для обоснования одного из шагов «доказательства».
Задачи к § 4 (часть 2)
1. Каждый из рисунков внизу размечен так, что он точно указывает предпо ложение и заключение. Напишите, что дано и что требуется доказать для каждого из этих рисунков.
в)
2. Сделайте то же, что в задаче I, исходя из следующих рисунков.
3. Перепишите задачу и дополните доказательство.
Дан |
рисунок, где А С = В С , |
DC= EC, О— середина отрезка DC, Н —сере |
дина |
отрезка Е С и £. А С Е |
ES L BCD. Докажитег что AG — BH. |
143
Д о к а з а т е л ь с т в о
У тверж дения |
Аргументы |
1.А С = В С .
2.DC — Е С .
Точка G— середина DC.
Точка ... — ...
3.DG=GC — ^ DC.
4.£ Я = Я С = у £ С .
б.6С = ЯС.
6. т |
А А С Е = т A BCD. |
7. т |
A ACG+m A GCH= |
— т A BCH + tn A GCH. |
|
8. т |
A GCH= т A GCH. |
9. т |
A ACG— m А В С Н . |
10.Д AGC ss Д В Н С .
11.AG=BH.
...
Определение середины.
• 4.
Шаги 2, 3 и 4 и подстановка.
Условие |
и определение конгруэнтных |
|
углов. |
сложения |
углов и ... в |
Аксиома |
||
шаг 6. |
|
|
Правило вычитания |
равенств. |
|
Шаги 1, 5, 9 и ... аксиома.
...
4. |
Докажите, |
что если на этом рисунке AE = |
В С , |
|
|
|
|||||||
AD = BD и DE —DC, то |
A E ^ |
A C. |
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Докажите, |
что если |
на |
том |
|
же |
рисунке |
|
|
|
|||
AE — В С , |
AD — BD и |
L EAD ^ |
|
А CBD, |
то |
|
|
|
|||||
А |
BDE s |
Z |
ADC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Можете ли |
вы доказать, что если на том же рисунке |
А Е |
= В С , |
AD — BD |
||||||||
и А Е Sz А |
|
С , то £D = CD? |
Если да, то сделайте это. Если нет, то объяс |
||||||||||
ните почему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7*. Можете ли вы доказать, |
что если на том же рисунке А |
Е ^ |
А С , ED — CD |
||||||||||
и А BDE ^ |
|
А ADC, то |
А Е — В С ? |
Если |
да, то сделайте это. Если нет, то |
||||||||
объясните почему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Д а н о. Рисунок, где AB 1 |
М К . |
и |
точка |
В |
яв |
|
А |
|
||||
ляется серединой отрезка 1ИД. |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|||||
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . / х ^ |
/ у. |
|
|
У |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
в |
к |
9. |
Дано, что |
луч_А£ делит отрезок |
В К. |
пополам в точке R |
и что А В — А К - |
||||||||
Докажите, |
что AE X BR. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
144
11. |
Дано, что отрезки PQ и R S пересекаются в точке Т, причем Р — T — Q и |
||
|
R — T — S, кроме того, R T = QT, PR ± lR S и SQ J,~PQ. |
|
|
|
Докажите, что L P s= L S. |
|
|
12. |
Докажите, |
что если на этом рисунке P S ~ Q S , |
S |
|
Р V = Qy и |
Z X Ä* £ у, то SV' i . PQ . |
|
13. Докажите, что если на этом рисунке АВ = СВ,
L M A E ^ L N C D и AE = CD, то /\ А В Е ^ SË Д CBD.
14. Можете ли вы доказать, что если на том же
рисунке |
L ЕВА ^ /. DBC и Z. Е s L D, то |
Д |
S Д СД£>? Объясните. |
15*. Можете ли вы показать, что если на том же рисунке А В = С В , m L МАЕ =
— пг L NCD |
и m L ABD = m Z С BE, то BE — BD? Если ваш ответ утвер |
|
дителен, то приведите доказательство. |
|
|
16. На рисунке |
внизу слева дано, что А, |
В, С и D — некомпланарные точки, |
причем точки |
В, С и D лежат в плоскости Е . Покажите, что если AB ± В С , |
|
AB ± BD и |
BC = BD, то AC = AD. |
|
|
А |
В |
17*. Покажите |
что если на рисунке справа L АВР д * L СВР, BP ± АР и |
BP J. С Р , то |
АВ = СВ. |
145
§ 5. БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ
Пометки на рисунке указывают, что луч AD делит /_ ВАС пополам.
А
Луч AD на следующем рисунке не делит /_ ВАС пополам, потому что он «направлен в противоположную сторону».
Таким образом, мы подошли к следующему определению:
Определение
Если точка D лежит внутри /_ ВАС и /_ B A D ^ /_ DAC, то
луч ÄD |
д е л и т /_ ВАС |
п о п о л а м ; в этом случае луч AD назы |
вается |
б и с с е к т р и с о й |
/ _ ВАС. |
Теорема 5.2
Каждый угол имеет биссектрису и притом ровно одну.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1°. Выберем на рисунке внизу |
слева |
точки В и С на сторонах |
А так, чтобы было AB — АС. |
Пусть |
D —середина отрезка ВС. Тогда соответствие ADB *-* ADC явля ется ССС-соответствием и по ССС-аксиоме Д ADB ^ Д ADC. Сле довательно, /, B A D = Z.CAD, так как это — соответствующие углы. Поэтому Z. А имеет биссектрису.
146
2°. Допустим, что луч AD делит /.В А С пополам, как пока зано на рисунке справа. Пусть r = m/_ DAC. Тогда г —т / DAB, так как эти углы конгруэнтны. По аксиоме 13
г + г = т / |
ВАС. |
Таким образом, |
|
г = ~ т / |
ВАС. |
Но мы также знаем, что точка D лежит по ту же сторону
от АС, что и В. (Почему?) По аксиоме построения углов сущест вует только один луч, который «лежит по нужную сторону от АС» и «образует угол нужной величины (угол с нужной мерой)».
Задачи к § 5
1. |
Верны |
или ошибочны следующие |
утверждения |
(объясните |
ваши ответы): |
|
|
a) биссектриса угла лежит целиком внутри |
этого |
угла; |
|
||
|
B ) биссектриса угла образует со |
сторонами |
этого угла два |
острых угла? |
||
2. |
Дано, |
что А Р — биссектриса Z. В А |
С и АС — |
|
|
|
=AB.
Докажите, что Р С = ВР .
3. Точки А и В лежат по противоположные сто роны от прямой C Y и С — X — Y. Докажите,
что если L A X Y ^ L B X Y , то ХС делит Z. А Х Р пополам.45
4. |
Даны |
два смежных угла. Докажите, что их биссектрисы перпендикулярны. |
|
5. |
Д а н о . |
Прямые Л D, B E и CF |
пересекаются |
|
в точке К и К С делит пополам |
L D K B . |
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . K F |
делит попо |
|
|
лам L |
А К Е . |
|
147
