ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 274
Скачиваний: 0
6 * . Прямые M N и PQ пересекаются |
в точке О, причем M — 0 — N и P — 0 — Q. |
||||||||||
Точки S и Т лежат |
внутри /. QON так, что |
2 TOQ ~ |
L TON и |
/. SOQ |
|||||||
~ / . S O N * |
Л уч |
OR |
является биссектрисой |
L РОМ . |
Докажите, |
что точки |
|||||
R, S |
и Т |
колли не^рны |
|
|
|
|
|
|
|||
7. Плоскости |
Е и F |
на |
этом |
рисунке пересе |
|
|
|
||||
каются |
по |
прямой A B . Прямая |
Р К |
ле |
|
|
|
||||
жит |
в |
плоскости F |
и пересекает |
прямую |
|
|
|
||||
A B |
в |
точке D. |
Кроме |
того, Р А = Р В , |
|
|
|
||||
L Р А В = |
L Р В А , |
и точка D |
является |
|
|
|
|||||
серединой |
отрезка |
А В. |
Докажите, |
что |
|
|
|
||||
Р К — биссектриса L |
А Р В. |
|
|
|
|
|
|||||
8 * . Точки Р, |
В, |
D |
и С |
на |
этом |
рисунке |
|
принадлежат |
плоскости |
Е, |
а |
точка А |
|||
этой плоскости |
не принадлежит. |
Д А ВС |
|||||
и Д Р В С |
являются |
равнобедренными: |
|||||
А В = А С и Р В = РС. Докажите, |
что если |
||||||
ÄD — биссектриса |
Z В А С , |
то P D — бис |
|||||
сектриса |
/. В PC. |
|
|
|
|
||
§ 6. РАВНОБЕДРЕННЫЕ И РАВНОСТОРОННИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
В конце § 1 мы упоминали случай сопоставления вершин Д АВС вершинам того же треугольника, возникающий, когда по крайней мере две стороны этого треугольника имеют одну и ту же длину. Именно с этим случаем мы сталкиваемся в нашей первой теореме о конгруэнтности.
Теорема 5.3 (теорема о равнобедренном треугольнике) |
|
||
Если две |
стороны треугольника конгру |
А |
|
энтны, то |
и |
углы, противоположные этим |
|
сторонам, |
конгруэнтны. |
|
|
148
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Дан Д АВС. Если A B Q Z AC,
то Z, ß = L С.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим соответствие
АВС++АСВ
между Д Л 0 С и им самим. Мы видим, что при этом соответствии
AB *■* АС
~АС*г* ÄB
L A ^ L A
Так как это СУС-соответствие, то из СУС-аксиомы следует, что
ДАВС ^ Д АСВ,
т.е. что соответствие АВС ** АСВ является конгруэнтностью. По определению конгруэнтности все пары соответствующих элементов
конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Следовательно, Z. Д = Д С, потому что эти углы —соответствующие.
Покажем теперь, как только что приведенное доказательство выглядит в форме записи в два столбца. (Мы пользуемся той же формулировкой теоремы и тем же рисунком, что и выше.)
До к а з а т е л ь с т в о
Утверждения
1. |
Ä B ^ Ä C , Ä C Q ^ Ä B . |
|||
2. |
д |
Л ^ |
д |
А. |
3. |
Д |
А В С ^ |
i s АСВ . |
|
4. |
L |
В ^ |
L |
С. |
Определения
Аргументы
Дано.
Тождественная конгруэнтность. Шаги 1 и 2; СУС .
Определение конгруэнтности между тре угольниками.
Треугольник с двумя конгруэнтными сторонами называется р а в н о б е д р е н н ы м . Третья сторона треугольника называется его о с н о в а н и е м . Два угла, между которыми заключено основание,
называются у г л а м и |
п р и о с н о в а н и и , угол, противолежащий |
основанию,— у г л о м |
п р и в е р ш и н е . |
В этих терминах теорему 5.3 можно сформулировать так:
Углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны.
Определения
Треугольник, все три стороны которого конгруэнтны, называется р а в н о с т о р о н н и м .
149
Треугольник, никакие |
две стороны которого не конгруэнтны, |
называется р а з н о с т о р о н н и м . |
|
Треугольник, все три |
угла которого конгруэнтны, называет |
ся р а в н о у г о л ь н ы м . |
|
Пользуясь терминами равносторонний, равноугольный, сфор мулируем теорему, вытекающую из теоремы 5.3. Мы назовем ее следствием 5.3.1. (Следствием называется теорема, которая легко вытекает из какой-либо другой теоремы.)
Следствие 5.3.1 |
|
|
|
Каждый равносторонний |
треугольник |
А |
|
является также и равноугольным. |
Дан |
|
|
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
|
||
А АВС. Если ВС = АС = AB, |
то |
Д Л — |
|
= д # = д с. |
|
|
|
Для доказательства нужно дважды применить теорему 5.3. Проведение доказательства во всех деталях предоставляется вам.
Следующая теорема может показаться похожей на теорему 5.3, но в действительности они различны; это становится особенно ясным, если исходить из вторых формулировок теорем 5.3 и 5.4. (Обратите внимание на то, как отличаются пометки на иллю стрирующих эти теоремы рисунках.)
Теорема 5.4 |
|
|
Если два угла треугольника конгруэнт |
А |
|
ны, то и стороны, противолежащие этим |
|
|
углам, конгруэнтны. |
|
|
Д р у г а я |
ф о р м у л и р о в к а . Дан |
|
Д АВС. Если |
Д В ^ Д С, то АВ = АС. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как |
Д В д ^ Д С , В С ^ С В и Д С ^ |
^ Д В, то соответствие |
АСВ |
АВС ^ |
является УСУ-соответствием. Поэтому оно является конгруэнт ностью, и
д АВС Д АСВ.
150
Следовательно, AB = АС, потому что соответствующие стороны конгруэнтных треугольников конгруэнтны.
Следствие 5.4.1 |
А |
Каждый |
равноугольный треугольник |
является также равносторонним.
Вы сами сумеете дать другую формулировку этой теореме и записать ее доказательство.
Задачи к § 6
1.Выберите, какое из следующих слов правильно заканчивает каждое пред ложение:
a) |
Биссектриса угла является |
|
|
|
|
|
||||||
|
(і) |
отрезком; _(іі) лучом; |
(ііі) |
плоскостью. |
|
|
|
|||||
B ) Равносторонний треугольник является |
|
|
|
|||||||||
|
(і) |
равнобедренным; |
(іі) |
разносторонним; (ііі) |
равноугольным. |
|||||||
c) |
Следствие является |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(і) |
определением; |
(іі) |
аксиомой; |
(ііі) теоремой. |
|
|
|||||
d) |
Если |
два |
угла |
треугольника |
|
конгруэнтны, |
то |
у этого |
треугольника |
|||
|
имеются и |
две |
конгруэнтные |
стороны; это мы |
можем |
утверждать на |
||||||
|
основании |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(і) |
определения; |
(іі) |
следствия, |
(ііі) теоремы. |
|
|
|
||||
2. Д |
P R S |
на этом рисунке |
является |
равнобедрен |
|
|
|
|||||
ным, |
причем |
P R = |
P S . |
Докажите, |
что |
|
|
|
||||
=L У-
3. Докажите, что если на этом рисунке Z |
L п, |
то Д GHK является равнобедренным. |
|
4. Д а н о . |
Плоская |
фигура |
ADBC, |
где AD — |
|
— B D и АС — ВС. Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
|||||
L CAD |
z CBD . |
|
|
|
|
5. Д а н о. |
Плоская |
фигура |
ADBC, |
где |
АС — ВС |
и L C A D ^ A |
CBD. Т р е б у е т с я |
д о к а |
|||
з а т ь . |
AD = BD. |
|
|
|
|
т
НК
с
151
в . Нужно ли |
в задачах 4 и 5 |
предполагать, |
что фигура АD B C — плоская? |
|||
|
Объясните. |
|
|
|
|
|
7. |
Докажите |
следствие 5 .4 .1: |
|
|
|
|
|
К а ж д ы й равноугольный треугольник является |
т а кж е равносторонним. |
||||
8. |
Д ан рисунок с |
указанными |
на нем пометками. |
К |
||
|
Докажите, |
что |
Д M N K — равнобедренный тре |
|||
|
|
|||||
угольник.
9. |
Д ан Д А ВС , |
для |
которого |
соответствие |
А В С *-*■ А С В |
является |
конгру |
||||
|
энтностью. Отсюда |
можно заключить, что |
Д |
А В С будет ( |
іразносторонним;) |
||||||
|
( і равнобедренным;і ) |
( і |
равностороннимі і ) |
. |
|
|
|
|
|||
10. |
Д ан Д Л В С , |
для |
|
которого |
соответствие |
A B C +-+-САВ |
является |
конгру |
|||
|
энтностью. Тогда Д |
|
А В С |
будет ( і разносторонним;) |
( |
і равнобедренным;і ) |
|||||
(ііі)равносторонним.
11.Доказать: биссектриса угла, противолежащего основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам и перпендикулярна основанию.
12. На этом рисунке АС — ВС, |
А А |
А у и |
С |
||
А В ^ |
А X. Докажите, что Д |
CD E — равнобед |
|||
|
|||||
ренный |
треугольник. |
|
|
|
|
13*. Точки С и D лежат на некоторой плоскости по противоположные стороны
|
от прямой |
A B, |
причем они |
расположены так, что |
Д А В С |
является равно |
||||
|
сторонним, |
а |
д |
А B D — равноугольным. Докажите, |
что L |
С с ы z Ь . |
||||
14. |
Дано, что |
на этом^ рисунке |
P Q 1 |
MQ, |
P Q ± N Q |
|
|
|||
|
и MQ = NQ. |
Докажите, |
что Д |
M N P — равно |
|
|
||||
|
бедренный |
треугольник. |
|
|
|
|
|
|
||
15. |
Докажите, |
|
что |
если |
на |
том |
же |
рисунке |
|
|
|
L P M N £ * |
А P N M и |
А M P Q z z ANPQ, то |
|
|
|||||
А PMQ = * AP NQ .
152
