ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 279
Скачиваний: 0
§ 7. ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ. ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКОВ
Часто треугольники, с которыми нам |
приходится иметь дело, |
|
расположены на |
чертежах не раздельно, |
а Перекрываются, как |
Д AFM и Д |
на рисунке: |
|
Когда мы сталкиваемся с такими случая ми, особенно важно, чтобы избежать путани цы и ошибок, правильно записать наши конгруэнтности:
Д AFM Д FAH.
R
Проверим, что соответствие A F M ^ F A H действительно явля
ется конгруэнтностью. После того как это сделано и |
мы хотим |
||
записать, какие же стороны (или углы) |
конгруэнтны, |
отвлечемся |
|
от рисунка и рассмотрим лишь саму |
запись |
^ A F M ^ /\FAFf. |
|
Мы знаем, что |
|
|
|
AF ^ FA, FM ^ АН, |
AM |
FH, |
|
поскольку это —соответствующие стороны в нашей конгруэнтности:
А F М ------- -- |
F А Н |
|
и |
Так поступать — намного надежнее, чем вертеть головой, разгля дывая рисунок со всех сторон, чтобы избежать ошибки.
Рассмотрим теперь случай, когда такая ситуация возникает в доказательстве теоремы.
Да но . HA = HF‘, |
HM = HQ. |
Н |
Т р е б у е т с я д о |
к а з а т ь . FM = AQ. |
|
Очень распространенный способ доказательства конгруэнтности двух отрезков состоит в установлении того, что эти два отрезка являются соответствующими сторонами конгруэнтных треугольни ков. Чтобы можно было с успехом воспользоваться здесь этим методом, прежде всего нужно выявить треугольники, содержащие
отрезки FM и AQ, Такими являются Д HMF и /\H Q A , и они существенно перекрываются. Теперь задача сводится к доказатель ству, что эти треугольники действительно конгруэнтны. Доказа тельство, изложенное в форме записи в два столбца, приведено ниже.
Д о к а з а т е л ь с т в о
|
У тверждения |
Аргументы |
1. |
Н А = H F . |
Дано. |
2. |
Л H c ^ z Н. |
Угол конгруэнтен самому себе. |
3. |
Н М = HQ. |
Почему? |
4. |
Д H M F Cü Д HQA. |
Почему? |
5. |
F M = A Q . |
Почему? |
Строго логическое доказательство должно не зависеть от ри сунка; оно должно вытекать из аксиом, определений и ранее до казанных теорем. Но геометры совершенно свободно пользуются рисунками, в первую очередь для сокращения развернутых объяс нений смысла задачи. В этом духе мы сформулировали пример 1 в начале § 4 следующим образом:
Да н о . AR и ВН делят друг друга пополам в точке Н.
Т р е б у е тс я до к а з а т ь: A B ^ R H .
в
1 54
Позднее мы объяснили, что все содержание этой теоремы можно передать дополнительными пометками на рисунке, вообще не поль зуясь словами, например так, как это указано на рисунке:
н
В
Чтобы обойтись без рисунка, нам нужно было бы сформулиро вать пример 1 так:
П р имер |
1. |
|
Пусть |
А, В, F, Н и R — пять неколлинеарных точек, лежащих |
|
в одной плоскости. Если |
||
1°. |
точка F лежит между А и R-, |
|
2°. |
точка F лежит между В и Н; |
|
3°. |
AF = FR\ |
|
4°. |
BF = FH, то |
|
5°. |
AB = RH. |
|
Первые два утверждения этого примера прочитать на рисунке, конечно, легче, чем третье. И читаются они совершенно точно, если понимать, как рисунки применяются для сокращения записей. Мы будем пользоваться рисунками, чтобы указать коллинеарность точек, порядок точек на прямой, положение точек внутри угла и вообще относительное расположение точек, прямых и плоскостей. С дру гой стороны, не следует делать заключения, что отрезки или углы конгруэнтны, только потому, что они к а ж у т с я конгруэнтными. Чтобы передать с помощью рисунка информацию такого рода, нужно обычным способом сделать на нем пометки.
в |
Е ■ F |
А Ас о |
|
|
А |
155
Например, |
правый |
рисунок |
сообщает |
нам, |
что DE ^ |
EF, но |
|
рисунок слева |
вовсе не |
говорит, |
что |
AB = |
ВС, |
даже несмотря на |
|
то, что самые |
тщательные измерения |
показывают, что это, |
по-ви |
||||
димому, так. |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
А |
|
|
|
|
С В D С В D
а |
Аналогично и здесь левый рисунок указывает, |
|
что ЛВ J_ CD, |
||
правый —нет. |
|
|
|
||
Задачи к § 7 |
|
|
|
||
1. |
На |
этом рисунке ЯѴ = |
S T , RQ = S P и Z V R O - а |
V |
Т |
|
£ £ |
Z T S R . Дополните |
доказательство того, что |
||
|
|
|
|||
Q V = P T .
|
|
* |
р |
О |
S |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
|
|
|
|
У тверждения |
Аргументы |
|
|
|
1. |
R V = S T . |
|
|
|
|
2. |
L VRQ. ^ Z T S P . |
Дано. |
|
|
|
3. |
... |
|
|
|
|
4. |
& R Q V ^ . . . . |
|
|
|
|
5. ...
2 . Докажите, что если на рисунке слева K G 1 GH, L H j_ GH и Z К Н Р
S Ë L LG H , то К Н ^ L G .
156
3. Дано, что А С — ВС |
и |
L C A E ^ L C B D |
С |
|
(см. рисунок справа |
в |
конце предыдущей |
||
|
||||
страницы). Докажите, что Д Л С £ с ^ Д BCD. |
|
|||
<
4. |
На |
этом |
рисунке АС = ВС, DC — Е С и |
|
AD = B E . |
Дополните доказательство того, |
|
' |
что |
Z А С Е ~ z BCD. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о
|
Утверждения |
Аргументы |
1 |
AC = BC, DC — EC. |
Дано. |
2. |
AD = BE . |
... |
3. |
D E — DE . |
... |
4. |
A D A - D E = B E + DE . |
Правило сложения равенств. |
5. |
A E = BD. |
Определение понятия «между» и |
|
|
шаг 4. |
6. ...
7. Z Л С £ ^ Z BCD .
...
...
5. На этом |
рисунке P M = Q N , P S — QR и |
Р |
M R = N S |
. Докажите, что Z P S N ^ - L Q R M . |
|
У
6. |
Докажите, что если на этом рисунке A F — BG, |
C |
|||||
|
L A |
Z В |
и A E — BD, то E F = DG. |
|
|||
7* . |
Докажите, |
что если |
на |
том же |
рисунке |
|
|
|
L A g ^ L B , |
AD — B E |
и Z |
ADG £ £ |
Z B E F , |
|
|
|
то Z C F E ^ |
Z CGD. |
|
|
|
|
|
157
