ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 277
Скачиваний: 0
8*. На рисунке внизу слева AD = BC, AC = BD, AK = BN и AG — BH. Дока жите, что KG —NH.
А К N В
9.Дана плоская фигура RSTV, причем w — x и у —г (см. рисунок справа). Докажите, что RV = ST.
10. Дано, |
что |
на этом рисунке |
L х ^ L у и |
С |
Z. т ^ |
L п . |
Докажите, чтоА С |
= В С . |
|
. |
А |
8 |
11*. Докажите, чтоесли на том же рисункёD F = EF и Z, х ^ |
L у , то Д А Е В — |
|
равнобедренный треугольник. |
|
|
12*. Докажите, что если на том же рисунке А С = В С
13. Найдите на этом рисунке угол, конгруэнтный Z KML, если MK = MQ, ML = MP и KL = QP.
Докажите, что ваш ответ правилен.
14*. Докажите, что если на том же рисунке М К |
= |
|
MQ, L |
LQ, Р М 1 М К и TM 1 MQ, |
то |
/.LP.
и DC'=£C, то DF = EF.
Р
15. Точки Б и С |
на сторонах /. А |
взяты так, что А В = |
А С . Через В прохо |
|||
дит прямая, перпендикулярная А С |
в точкеD. Аналогично, через С проходит |
|||||
прямая, перпендикулярная AB в точке Е . Докажите, |
что если AD = AE, то |
|||||
BD = CE. |
|
|
|
|
|
|
16*. Прямая |
I перпендикулярна отрезку XY и делит его пополам в точке S. |
|||||
Точки R |
и Т |
являются соответственно серединами |
отрезков XS |
и |
YS. |
|
На прямой I по противоположные стороны от XY взяты такие точки А |
и |
В , |
||||
что А Х —BY и AT — BR. Докажите, что AS = BS. |
|
|
|
|||
158
17*. Докажите, что если Z D ^ Z DI(M и 1 { М = = С М = Т М , то AD = BC.
18. Точки В , D и Н |
на |
этом |
рисунке принадле |
C |
|
жат плоскости Е , |
а точки А |
и С— не принад |
|||
лежат |
ей. Докажите, |
что |
если AB ± BD, |
|
|
CD 1 |
775, AB = HD и CD = BD, то AD=*HC. |
|
|||
19. а) Докажите, что если на этом рисунке точка |
|
|||
X является серединой отрезка MN, |
MZ — NY |
|
||
и XZ = XY, то £ |
F ^ Z Z . |
|
|
|
b) |
Необходимо ли, |
чтобы точки М , |
N, X, Y и |
|
Z были компланарны? |
|
|
||
20*. а) Докажите, что если на том же рисунке точки М , N, |
X, Y и Z компла |
|||
нарны, точка X является серединой отрезка MN, Z. М = |
Z. X и Z. -МХУ |
|||
^ |
£ WXZ, то Z |
£ Z. |
|
|
Ь) |
Необходимо ли, чтобы точки М , |
N, X, Y и Z были компланарны? Объ |
||
ясните.
§ 8. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, КВАДРАТЫ И ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Четырехугольник — это фигура с четырьмя сторонами. Вот примеры четырехугольников:
159
Фигура вроде той, которая изображена на рисунке слева, четы рехугольником не является.
Кроме того, стороны четырехугольника не должны пересекаться. Поэтому фигура справа — тоже не четырехугольник.
Следующие определения сформулированы так, чтобы они вклю чали те случаи, которые мы хотим включить, и исключали те случаи, которые нам не нужны.
Определения
Пусть А, В, С и D — четыре компланарные точки. Если ника кие три из них не коллинеарны и отрезки AB, ВС, CD и DA имеют
общими |
только свои концы, то объединение этих четырех отрез |
||||
ков |
называется |
ч етыр е х у г о л ь - |
|||
н и к о м . |
Эти четыре отрезка назы |
||||
ваются |
с т о р о н а м и |
четырехуголь |
|||
ника, |
а |
точки |
А, В, |
С и |
D — его |
в е р ш и н а м и . |
/ . DAB , |
/.А В С , |
|||
/ BCD и / CDА (их можно просто |
|||||
обозначить / А, / В, / С и / D), |
|||||
называются у г л а м и |
Четырехуголь |
||||
ника. |
|
|
|
|
|
Если все четыре угла четырех угольника являются прямыми, то четырехугольник называется п р я м о у г о л ь н и к о м .
Если все четыре угла четырех угольника являются прямыми и все четыре его стороны конгруэнтны, то четырехугольник называется к в а д р а т о м .
Мы будем обозначать четырехугольник символом □ ABCD.
160
Пометки |
на |
следующем рисунке |
4 |
сообщают нам, что отрезок AD являет |
|
||
ся медианой |
Д |
АВС. |
|
Формально это звучит так: |
|
||
Определение
М е д и а н а треугольника есть отрезок, концами которого слу жат какая-либо вершина треугольника и середина противополож ной стороны.
Каждый треугольник имеет три ме- |
А. |
|
||
дианы—по одной на каждую вершину. |
|
|
||
Пометки |
на следующем |
рисунке |
|
|
указывают, |
что отрезок АЕ |
является |
|
|
биссектрисой Д АВС. |
|
|
|
|
|
|
B |
E |
С |
Определение |
|
|
|
|
Отрезок |
называется б и с с е к т р и с о й |
треугольника, |
если |
|
1°. он принадлежит лучу, делящему |
пополам какой-либо угол |
|||
этого треугольника; |
|
|
|
|
2°. его концами служат вершина этого угла и точка противо положной стороны.
Задачи к § 8
1.Постройте (сделайте его побольше!) разносторонний треугольник. Постройте
три его медианы-. Постройте три его биссектрисы. ^
2. Д а н о. Д А В С , медиана A D которого
перпендикулярна стороне |
ВС. |
___ |
Т р е б у е т с я д о к а з а т |
ь . |
Отрезок AD |
является биссектрисой Д А В С и Д A Ü C — равнобедренный треугольник.6
С
В
6 Геометрия |
161 |
3.Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треуголь ника, перпендикулярна основанию и является биссектрисой угла, противопо ложного основанию.
4. Дано, что □ MOPQ является квадратом
и точка R есть середина стороны MQ. До кажите, что Д R O P — равнобедренный тре угольник.
5. |
LG и |
Z.H в □ |
GKHM являются |
прямыми и, кроме того, GK —М Н и GH = |
||||
|
= M R , |
причем |
6' и // лежат по противоположные стороны от МК - Докажите, |
|||||
|
что |
□ |
GKHM — прямоугольник. |
|
||||
6. |
В □ |
A B C D |
отрезки АС |
и B D |
перпендику |
|||
|
лярны |
и |
пересекаются |
в |
точке F\ кроме |
|||
|
того, |
AC — B D |
и F D = F C . |
Докажите, что |
||||
|
Д ACD SË Д B D C . |
|
|
|
||||
В
7.Доказать: медианы конгруэнтных сторон равнобедренного треугольника конгруэйтны.
8. Доказать: биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вер шин при его основании, конгруэнтны.
9. □ А BC D — квадрат, |
а |
точки |
Р, |
Q, |
R |
и |
S |
являются серединами |
|
сторон |
А В, |
ВС, |
CD |
и |
|
DA . Докажите, что |
L |
PQR |
~ |
/ . |
P S R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
S |
О |
10. |
□ А B F H — квадрат. |
X — точка |
луча ÂTT, |
а Y — точка луча |
BF, |
такие, что |
||
|
А Х — B Y . Докажите, |
что |
AY = |
BX. |
|
|
|
|
11. |
Л уч А Р |
делит пополам L |
ВАС . D — точка |
на А 5 , а Е — точка на |
ÂÜ, такие, |
|||
|
что AD = |
AE . Докажите, |
что |
PD = PE . |
|
|
|
|
12*. Дан рисунок, где луч |
К М делит пополам |
|
|
|||||
|
оба угла- |
L H R G и |
2 HSG. Докажите, что |
|
|
|||
КМ ± Ш .
К
162
