Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 282

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Конкурсная задача

a) Можете ли вы вывести

из

ранее доказан­

 

С

ных теорем,

что

если

А С =

М Р ,

ВС

 

 

g^ N P и медиана

ÄD ^

медиане

MQ, то

 

 

Д

А В С 9 ^

Д

M N P ? Если

да,

то сделайте

 

 

это. Если

нет, то

объясните почему.

А

В

B ) Можете ли вы вывести

из

ранее доказан­

 

 

ных теорем,

что

если

АС СР^М Р,

А В - ~

 

Р

9 ^ M N и медиана ÄD 9 ^ медиане

MQ, то

 

 

 

Д

А В С =

д Л Ш Р ? Если

да,

то сделайте

 

 

это.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

N

Дополнительные задачи

 

 

 

 

 

 

1. Д а н о . DC — В С и D K — B K

(см. рисунок).

 

 

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . AD — AB .

 

 

В

2.Даны два конгруэнтных треугольника. Докажите, что медиана, делящая пополам любую сторону одного треугольника, конгруэнтна медиане, деля­ щей пополам соответствующую сторону другого треугольника.3

3. Докажите, что если на

этом рисунке MQ =

= PQ = P R = NR , то Д

M N P — равнобедрен­

ный треугольник.

 

6*

163

4.

X

и Q — такие точки Д

R S T ,

что

S — X — T и S X — S R , соответственно

 

R — Q — Т

и луч SQ

делит

пополам

/. R S T . Проведем отрезок QX. Какой

 

угол конгруэнтен L R? Докажите, что они

конгруэнтны.

5.

На

этом

рисунке

X W — ZY,

А Х — B Y

и

 

A Z — B W .

Какой

угол конгруэнтен

Z. А?

 

Докажите

их конгруэнтность.

 

 

 

6. Дан рисунок внизу слева,

где отрезки QS и R T делят друг друга пополам

в точке Р . Докажите, что

А Р — В Р .

7. Докажите, что если на правом рисунке A B — АС, AD = A E и Z x ^

то AG — A H .

8. Докажите, что каждая биссектриса равностороннего треугольника одно­

временно является и его медианой.

 

9. а) На

этом

рисунке

AD = BC ,

A B = DC,

а

отрезок

M N

делит

отрезок

А С пополам

в

точке

К .

Будет ли и А С делить

пополам от­

резок

АШ ? Докажите, что

ваш

ответ пра­

вилен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

N В

Ь) Должны ли все точки изображенной на

рисунке фигуры

быть компла­

 

нарны?

 

 

 

 

 

10. а)

На этом

рисунке N R — M L и M R — NL .

ц

М

 

Докажите,

что

Z. M N K ^

A N M L .

Г

 

Ь)

Должны

ли

отрезки К М

и NL Пересе-

\

 

 

каться?

 

 

 

’

 

 

 

 

 

 

 

L

1 1 . Д а н о . Рисунок,

где А В = А С и/1 R C B —

 

 

 

Z ТВС .

 

 

 

 

 

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . R C = B T .

 

 

164

12. Докажите, что если два треугольника конгруэнтны, то биссектриса одного треугольника, проведенная из любого его угла, конгруэнтна проведенной из соответствующего угла биссектрисе другого треугольника.

13*. Точки А, Р и С на этом рисунке

лежат в

R

плоскости Е, а точки R и

S — по

противо­

 

положные стороны от Е. Докажите,

что если

 

ÄP L R S ^ R P ^ S P и RC =

SC, то

 

 

a) CP 1 RS-,

 

 

 

b) L A C R — L ЛСД.

 

 

 

1 4 * .Дано, что

А — С — В и

CD J_ AB. Точка Р лежит внутри L ACD, а точка

Q— внутри

L BCD, причем

L PCА ^

 

Z QCB. Докажите, что если CD J_ PQ,

то PC = QC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15*. Пусть отрезки АР и ВС

делят

друг

друга пополам в точке

N, а отрезки

АС и BQ делят друг друга

пополам

в точке

К ■ Покажите,

что QC = PC.

16*. Дан произвольный /\ А В С .

Пусть

D — такая

точка, что D и С лежат по

противоположные стороны

от AB

и

Д Л Д О — равносторонний треугольник,

а Е — такая

точка, что £

и Л

лежат по противоположные стороны от ВС и

д ВСЕ — равносторонний

треугольник. Докажите, что AE — CD.

17*. Дан □ ABCD (см. рисунок), причем

AB =

А

О

= DC и AD — ВС. Докажите,

что АС и BD

 

 

делят друг

друга пополам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѳ

 

18*. Точки G и В на этом

рисунке

делят отре­

 

R

зок MR на три конгруэнтные

части,

а точки

 

 

 

G и Р тбчно таким же образом делят отрезок

 

 

АС. Покажите, что если

AG — BG, тоД R —

 

 

S Ë Z С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19+. Запишите аккуратное определение того, что означают слова: «Точки С и D

делят отрезок AB на три конгруэнтные части».

2 0 * +. Докажите, что если прямая X Y перпендикулярна каждому из трех раз­

личных лучей ХА, Х В и АС и если Х А = Х В = ХС, то A Y — B Y — CY.

165

2 1 * . Д а н о. Д K V L — равнобедренный

треугольник,

м

у которого KV = L V и луч М Р

содержит ме­

 

диану Ѵ Р.

 

 

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . S T =

R T .

 

2 2 *+ . а) П усть A B и CD делят

друг

друга пополам

в

точке К . Докажите,

что

A C =

BD

и AD = BC.

 

 

 

 

 

 

 

b)

Пусть

теперь

отрезок E F

также делится

точкой

К

пополам. Сумеете ли

вы найти шесть пар конгруэнтных отрезков, ни один из которых не

содержит точку К?

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

К ак

изменится ваше заключение (см. задачу Ь),

если

отрезок È F не при­

 

надлежит

плоскости,

содержащей

отрезки A B

и CD?

Попытайтесь мыс­

 

ленно представить себе получающуюся фигуру, или набросать картинку,

 

или сделать модель.

 

 

 

 

 

 

 

 

23+. Дан Z

В А С , где

А В =

АС . Тогда

R

лежит на A B , а точка Т — на АС, при­

чем так,

что R C =

T B . Можете ли

вы, основываясь

на этой информации, до­

казать,

что

A R = A T ?

Если

да,

то

сделайте это. Если нет, то объясните

почему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4*+ . Пусть

Д Р Л В

и F sQ A B лежат

в

различных

 

О

плоскостях, но имеют общую сторону

A B .

До­

 

 

 

 

кажите,

что

если

л Р А В ^ А Q AВ

и X — лю­

 

 

 

бая

точка

отрезка Â B ,

то L

XPQ =

Z. XQP.

 

 

 

2 5 *+ . Доведите до

конца евклидово

доказательство

А

теоремы, утверждающей, что углы

при основании

 

равнобедренного

треугольника конгруэнтны.

 

Д а н о . L В А С ,

где А В =

АС.

 

 

 

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . / A C B CZL Z A B C .

 

( У к а з а н и е .

Возьмите

такие

точки Е

и F ,

 

что А — В — Е

и

A — C — F,

кроме того,

АЕ =

 

— AF. Проведите

отрезки

BF

и С Е . )

 

 

Вопросы и задачи для повторения

1. Укажите, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений:

а) Если

при

соответствии А ВС

KLM имеем АС ^ К М , AB Д+ KL и

L Л =

L

К і то это соответствие

является конгруэнтностью.

166

B ) Если AC = BD, то непременно или А = В и C = D, или = D и В — С.

c)Если три угла одного треугольника конгруэнтны трем углам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

d)

Если

в

Д D E F

выполняются

равенства m L D = m Z . E — m / . F , то он

 

является равносторонним.

 

 

 

e) Медиана треугольника делит пополам угол треугольника.

О

Если

Д

X Y Z SË Д ВАС, то

L

X ^ L

А.

g)

Если

L

А = : L С

в

Д АВС,

то А В =

АС.

h)

Если

/ \ X Y Z ^

Д

2 Х У , то

Д

X Y Z — равносторонний треугольник.

i) Два треугольника конгруэнтны, если две стороны и угол одного тре­ угольника конгруэнтны двум сторонам и углу другого.

j) Не существует Д АВС, у которого L А = L В.

2.Определите «конгруэнтные отрезки».

3.Определите «биссектрису угла».

4.Определите «биссектрису треугольника».

5.Докончите предложение. Если биссектриса треугольника является и медиа­

ной, то треугольник явл я ется ....

6.Докончите предложение. Четырехугольник, имеющий четыре прямых угла, назы вается....

7. Докончите предложение.

В Д PRQ z Q заключен между ...

и . . . .

а между

L Р и Z R заключена

сторона.. . .

 

 

8. Каждый из треугольников АВС и PQR имеет по две стороны длины 7 и по углу, мера которого равна 40. Конгруэнтны ли эти треугольники? Почему это так (или не так)?

9. Докажите, что если на этом рисунке

AB = АС я луч A R делит пополам Z.BAC, то

a) R B = RC;

b) Л уч AR содержит биссектрису L BRC .

10. Доказать:

если

Д А В С — равносторонний

RÉ Д С A B ^

Д АСВ.1

11. Запишите

предположение и заключение

для теоремы, содержание которой пере­

дают пометки

на

этом рисунке.

треугольник, то Д АВ С ^

D G

Д

В

167

Смотрите также файлы