Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

3.

Отрезок A B

на

этом

рисунке делится пополам отрезком CD и

Z С ^ / D.

Докажите, что отрезок CD делится пополам отрезком

A B .

4. Д а н о . Z К = Z J и MR = М? .

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь .

M K — N J .

5.

Из середины

одной

стороны

треугольника проведены

отрезки,

перпендику­

лярные двум

другим сторонам. Докажите, что если эти отрезки конгруэнтны,

то треугольник — равнобедренный.

и В С _L A B

и

Z ADE ^

Z В С Е .

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь .

/. ED C ^

^

Z £C D .

7.

Точки

К

ш M

делят отрезок

GH

на

три

равные

части,

причем

G — К — М. Точки

/ и J лежат по одну

сторону от прямой

GH на

перпен­

дикулярах

к

этой

прямой,

восставленных соответственно

в

точках

G и Н.

Далее,

J M — I K .

Отрезки

J M

и

І К

пересекаются в точке

Р . Докажите,

что Д

Р И М — равнобедренный

треугольник.

8 * . На этом

рисунке

Z D

и Z С — прямые углы

и А

A P R — Д

BQT. Д ока­

жите, что

Д

ADF ^

Д

ВСЕ .

9* + . Точки А,

В и Q лежат в плоскости Е ,

AQ _L P R ,

BQ J_ P R

и Z Р А В ^

^ Z Р В А .

Докажите, что Д P A R

Д

P B R .

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Если в произвольном Д АВС

выпол­

няется неравенство А В > АС, то и /_С~> А. В.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

D —такая точка

луча АС, что

AD = AB. Тогда Z AB D ^É Z А

потому что углы при основании

равнобедренной) треугольника

конгруэнтны. Так как AD — А В >

> А С ,

то точка

С должна

лежать между А и D. Поэтому по

аксиоме сложения

углов

т Z ABD —m Z АВС-\-т Z CBD.

Следовательно,

т Z АВ С < т ^ ABD.

(Почему?) Теперь

мы

перестанем

пользоваться

мерами

углов

и перепишем последнее неравенство

просто в виде

Z А В С < Z ABD.

Так как Z ABD ^z Z А

то отсюда следует, что

L А В С < Z А

Но из теоремы о внешнем угле мы знаем,

что

Следовательно,

Z D < Z АСВ.

Z АВС С Z АСВ.

Итак,

в /\А В С

мы имеем Z В <

Z С,

что и требовалось дока­

зать.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Если в произвольном ДЛДС

выполняется неравенство

Д О

Д В,

то и А В > АС.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

чисел

AB и АС имеются три воз­

можности:

А В < А С ,

(1)

AB = АС,

(2)

AB >

АС.

(3)

«Допустим, что

теорема неверна. Тогда

либо АВ = АС,

либо

А В < А С . Равенство AB —АС невозможно потому,

что —

Нера­

венство AB <сАС

невозможно потому, что

—

Поэтому

наше

ции «возможности», а затем показать,

что только одна из них дей­

ствительно возможна.

Задачи к § 5

1.

В Д А В С

имеем Л В =

12,

В С = 7, АС — 9. Назовите

наибольший угол;

наименьший

угол.

2.

В Д PQR имеем m д Р =

72,

т L Q — ЪІ

и т L 7? = 71.

Назовите наиболь­

шую сторону; наименьшую сторону.

3.

На левом рисунке L

A BD >

L D B C . Докажите, что AD > BD.

4.

Перечислите стороны правого треугольника в порядке возрастания их длин.

5.

Какой отрезок

на

левом

рисунке имеет

наибольшую длину, если углы

имеют указанные

меры? Тот

же вопрос для

правого рисунка.

7. Отрезки

A B и CD (левый

рисунок)

пересекаются в точке Е , L С > L А

и /. D >

/. В. Докажите»

что A B >

CD.

К

8 *.

В равнобедренном

Д

KG H

(пра­

С

вый

рисунок) имеем

K G — K H ,

Р — любая точка

прямой

GH, не

принадлежащая

отрезку

GH.

До­

кажите,

что Р К

всегда

больше,

чем

KG

и К Н .

9 * .

Какой

отрезок

на

этом

рисунке

имеет

наименьшую

длину,

если

углы

имеют указанные

меры?

Теорема 5.4'

Дан I \ А В С . Если

Д С ^ Д В , то AB —АС.

После того как мы доказали какую-нибудь теорему, имеющую

простую форму «если

..., то», обычно

имеет смысл исследовать

обратную ей теорему.

В каждом случае

нужно проводить отдель­

теорема утверждала

бы,

что если два

угла

конгруэнтны,

то они

вертикальны,

а это

не только

не

верно,

но

совершенно

нелепо.

Аналогично,

если

х = у,

то

х і = уі.

Обратная

теорема

утвер­

ждала бы,

что если

=

то

х = у.

Таким

образом,

и здесь

обратная

теорема

не

верна:

она

исключает возможность, что

х = — у.

верными и сама теорема

и теорема, обратная

Если окажутся