Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

из обратных

утверждений.

a)

Если

вам

больше 20 лет, то вы

имеете право

голоса.

B )

Если

вы

находитесь в Африке, то вы видите львов

и слонов.

c)

Каждый,

у кого скарлатина, серьезно болен.

2. Сделайте

то

же, что в задаче 1.

a)

Если

два

угла конгруэнтны, то

они — прямые.

B )

Если

два

угла образуют линейную пару, то

они

пополнительны.

c)

Любая точка медиатрисы некоторого отрезка

равноудалена от концов

этого отрезка.

d)

Если

два

угла дополнительны,

то каждый из

них — острый.

Каждый равноугольный треугольник

равносторонен.

6. Разбейте следующую теорему на две

теоремы в

форме « е с л и ..., то»:

Треугольник является

равносторонним

в том

и

только

в

том

случае,

если

биссектриса

каждого угла этого

треугольника служит

медиатрисой

противоположной

стороны.

Какая

из этих двух

теорем соответствует части

«только

в

том

случае,

если»

сформулированной нами теоремы?

прямой.

ф о р м у л и р о в к а . Даны прямая I и не принадле­

Д р у г а я

жащая ей точка Р. Если

PQ _і_ I в точке Q и если R — другая

точка прямой I, то PQ < PR.

Д о к а за те л ь ст во. По предположению т /_ Q= 90.

Послед­

ствию 7.2.1 Д

— острый угол. Таким

образом, т Д R < m /_ Q.

По теореме 7.5 P R >P Q .

Расстоянием между точкой Р и прямой I естественно

считать

м и н и м а л ь н о е расстояние между Р

и точками прямой I.

Из предыдущей теоремы мы знаем,

что такое минимальное рас­

стояние существует, и знаем, где

оно достигается.

Поэтому

наше определение можно сформулировать так:

Определение

Р а с с т о я н и е

м ежду

п р я м о й

и не п р и н а д л е ж а щ е й

ей т о ч к о й

есть

длина

перпендикуляра,

опущенного из этой

точки на эту

прямую. (Расстояние между

прямой и принадле­

Д р у г а я

ф о р м у л и р о в к а . В любом /\А В С

выполняется

неравенство:

AB + В С > АС.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть D, как указано на рисунке,— такая

точка

луча,

противоположного лучу ВС,

что BD — BA. Тогда

DC = DB -f ВС,

так как

точка В лежит между D и С. Следовательно,

DC = AB + ВС.

(1)

т Z. DAC = т Д DAB-\-m /_ ВАС,

так

как

В лежит внутри /. DAC. Следовательно,

Но

т /_D A C > m Д DAB.

т Z. D = m /_ DAB,

так

как

BD = ВА . Поэтому

т / _ D A C > m /_D.

(2)

Применяя к ДЛ£>С теорему 7.6, получаем

DC > АС.

(3)

Сопоставляя

(1) и

(3),. находим,

AB + В С > АС,

что и требовалось

доказать.

Задачи к

§ 7

1.

Мы

можем

утверждать, что на рисунке слева

CD < ... и CD < ... и что

B E <

... и

B E < . . . . Сформулируйте теорему,

из которой

это следует.

A

D

В

Р

Q

2.

Учитывая угловые меры,

указанные

на рисунке, расставьте P S , P R и PQ

в правильном

порядке в

следующей

цепочке неравенств: ... <

Приведите теоремы, подкрепляющие ваше заключение.

3.

Докажите, что сумма длин диагоналей

четырехугольника

меньше периметра

этого четырехугольника.

^

жащие по

одну сторону

от I.

Найдите

^ _______

*

такую точку R прямой I, для которой

^

сумма

PR-\-RQ

является

наименьшей.

л р

( У к а з а н и е .

Это легко

сделать,

если

вы

решили задачу

6 к § 4 гл. 6.)

8. Даны

два

отрезка,

АС и BD, пересекаю-

^

щиеся

в

точке Р .

Докажите,

что

если

X — любая,

отличная

от

Р

точка

плос-

» X

— "

кости,

в

которой

лежат

отрезки

АС

и

BD ,

то

Х А -f-Х

В

Х С

-{-X D

PA -f*

р,-*******^

•

-f- PB -\ -PC -\ -PD .

Останется

ли

этот

X?

В

результат

в

силе,

если точка X

не

при­

надлежит

плоскости

отрезков АС

и B D ?

9 *+ .

Пусть

А,

В

и

С — точки,

не

обязательно

различные.

Докажите, что

A B +

В С ^

АС.

(Нужно рассмотреть

несколько случаев.)