Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны п точек Alt Л2, . . . , А„. Докажите, что

Д Д + Л2Л3+ •••+ An_iA n SS А1Ап.

§ 8. ТЕОРЕМА О ШАРНИРЕ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если палки развернуть ши­ ре, то резинка должна растя­ нуться :

Переводя сказанное на геометрический язык, получаем сле­ дующую теорему. (Вы, возможно, сочтете, что вторая формули­ ровка звучит проще, чем формулировка самой теоремы.)

Теорема 7 .9 (теорема о шарнире)

Если две стороны одного треугольника соответственно конг­ руэнтны двум сторонам другого треугольника и если угол, заключен­ ный между указанными сторонами первого треугольника, больше угла, заключенного между соответствующими сторонами второго, то третья сторона первого треугольника больше третьей сто­ роны второго треугольника.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны Д АВС и /\D E F , причем AB = DE и АС = DF. Если Д А > Д D, то ВС > EF.

2 2 4

ВС.

Мы уже близки к доказатель­ ству теоремы. В силу СУС

Теорема 7.10 (обратная теорема о шарнире)

Если две стороны одного треугольника соответственно конгру­ энтны двум сторонам другого треугольника и если третья сто­ рона первого треугольника больше третьей стороны второго, то угол, заключенный между указанными сторонами первого тре­ угольника, больше угла, заключенного между соответствующими сторонами второго треугольника.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны Д АВС и /\D E F , при­ чем AB — DE и АС = DF. Если ВС > EF, то Д Л >* Д D.

AD = CD и L A D B > L CD B .

Докажите, что A B > ВС.

2. S — точка основания равнобедренного & P Q R , отличная от середины. Д ока­

жите, что луч P S не является биссектрисой і. RPQ.

R

3. Д а н о . Д А В М с медианой M R , причем /. M R B > /. МК А .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . А М > М В .

6.Докажите, что на рисунке (обратите внима­ ние на пометкиі) /. W > Z U.

226

F

В каждом случае отрезок BD принадлежит перпендикуляру,

опущенному из В на прямую АС, и называется высотой, прове­ денной из вершины В к стороне АС. Заметим, что основание

этого перпендикуляра не обязано принадлежать отрезку АС. Но все случаи учитываются в следующем определении.

Определение

В ы с о т а треугольника есть отрезок, принадлежащий перпен­ дикуляру, опущенному из какой-либо вершины треугольника на прямую, содержащую противо­ положную сторону, и заключен­ ный между этими вершиной и стороной.

(Вопрос. Может Ли высота тре­ угольника быть стороной этого треугольника? Если да, то при каких условиях это возможно?)

Конечно, каждый треуголь­ ник имеет три высоты: по од­ ной, проведенной из каждой вершины. Это показано на сле­ дующем рисунке:

два из отрезков BD, АЁ и CF не имеют общей точки, все три содержащие их прямые, как видно из рисунка, пересекаются

водной точке G.

Ксожалению, то же слово «высота» употребляется еще в двух смыслах:

(1) Иногда длина высоты также называется высотой. Так, если расстояние BD равно 6, то можно сказать, что высота, проведен­ ная из вершины В, равна 6.

вать высотами. Именно в этом смысле мы употребляем слово «высота» в гл. 15, где мы докажем, что три «высоты» треуголь­ ника всегда пересекаются в одной точке. Если бы высота непременно была отрезком, то, как показывает последний рисунок, эта теорема была бы, конечно, неверна.

Такое тройное значение одного и того же слова легко могло бы приводить к недоразумению. Но обычно этого не бывает, потому что в большинстве случаев из контекста видно, какое из этих значений имеется в виду.

Р

2. Перерисуйте этот тупоугольный треугольник и проведите три его высоты.3

3.Докажите, что высота, проведенная из вер­ шины, противоположной основанию равнобед­ ренного треугольника, одновременно является также и медианой.

223

4. Докажите следующую теорему:

С

Высоты, проведенные из вершйн, противо­ положных конгруэнтным сторонам равнобедрен­ ного треугольника, сами конгруэнтны.

5.Докажите. Высоты равностороннего треугольника конгруэнтны.

6.Докажите теорему, обратную теореме задачи 4:

Если две высоты треугольника конгруэнтны, то этот треугольник - равнобедренный,

8. Докажите, что периметр треугольника больше, чем сумма трех его высот.

Вопросы и задачи для повторения

229