Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 307

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4. Определите расстояние между точкой и				/ м
прямой.	Определите	высоту	треуголь	/ м
ника.
5. Докажите,	что если	медиана,	проведен
ная к какой-либо стороне треугольника,
не перпендикулярна		этой стороне, то
хотя бы две стороны треугольника не
конгруэнтны.

6. Три проволочные растяжки равной длины поддерживают недавно посажен ное на горизонтальной площадке дерево. Будут ли закрепляющие их в земле колышки находиться на равном расстоянии от основания дерева, если все три растяжки прикреплены к дереву на одной высоте? Почему?

7.Из различных вершин равностороннего треугольника проведены медиана, биссектриса и высота. Что можно ска

	зать об их	длинах?	£
8.	Докажите, что на рисунке А A D B >		А С.
9.	В Д А ВС	имеем АС > AB. Докажите,
	что если D — любая точка между В		и С,
	то AD < АС.

10. Докажите-следующую теорему:

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Д а н о . Л уч Ä P делит пополам А В А С .

Р Е ± AB.

YF J_ АС.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . Р Е — P F .

11. Какой отрезок является наименьшим, если меры углов указаны на рисунке? Объясните свое рассуждение.

230


12. Плоскости		Е и	F	пересекаются			по
прямой A B .		Точка	С	лежит		в плоско
сти F ,	а точка		D — в		плоскости		Е.
Кроме	того,	C B = AD,			С А	_L A B	и
D B _L Ä B . Докажите,				что CA — DB.

13.	Отрезки,		соединяющие	некоторую точку,		лежащую внутри	треугольника,
с тремя		его	вершинами,	имеют длины г,	s	и t. Докажите,	что сумма л +
+	s + f	больше, чем половина периметра			этого треугольника.

14.	Доказать. Если	AM — медиана Д			АВС,	R
	то проведенные	из	В и	С отрезки,	пер
	пендикулярные прямой ЛУИ, конгруэнтны.
15.	На этом рисунке		P T =	T R = R Q .	До	т
	кажите, что				Р	т
	P R >		RQ.

16*. Докажите следующую теорему:

Если из любой точки перпендикуляра к некоторой прямой проведены к этой прямой два наклонных (не перпендикулярных) отрезка, т о тот

отрезок, конец		которого,	лежащ ий на данной прямой,	дальш е отстоит от
основания перпендикуляра, имеет больш ую длину.
17*. Дано,	что	ЛС = 5 С ,	A B < АС и	D
А — С — D.	Доказать,		что Д A BD —	D

разносторонний треугольник.

18*. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треуголь ника, до концов одной из его сторон меньше суммы длин других двух сторон. Иными словами, доказать, что а +

> с + d.

19*. Z. С — прямой	угол в	Д	А ВС . Если
т /. В = 2т z Л,	то А В =	2ВС.
( У к а з а н и е .	Проведите		биссектрису
Z В .)

231

2 0*. а) Д ан Д А ВС , где ВС = а, АС — Ь и А В = с. Докажите, что | а — 6 | < с . Ь) Сформулируйте словами теорему, обобщающую предложение из задачи а).

2 1 *+ . Сумма мер углов треугольника меньше, чем 270.

22+ . На основании сформулированных в этой книге ранее аксиом и уже дока занных теорем нельзя доказать, что сумма мер трех углов треугольника равна 180 (факт, с которым вы через некоторое время познакомитесь). Однако мы легко можем построить треугольник специального вида и дока зать, что сумма мер его углов меньше, чем 181.

К В

И С

Пусть L В А С имеет меру 1 (аксиома построения углов). На лучах A B

и АС возьмем точки К и М так, что А К = АМ. Сумма мер углов Д А К М

меньше, чем 181. Почему? Если мы сделаем т /, A * = - ^ t то что мы сможем

сказать о сумме углов полученного треугольника?

Конкурсная задача

Пусть прямая BD пересекает прямую АС в точке В , лежащей между

Л и С. Перпендикуляры, проведенные из точек А и С к прямой BD, пере секают эту прямую соответственно в точках Р и Q. Докажите, что точки Р

и Q не лежат по одну сторону от АС.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ		ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ			ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
В этой главе	нас	будут интересовать		фигуры,	не	лежащие
в одной плоскости, поэтому прежде,			чем вы	приступите		к чтению
этой главы, вам	стоит	просмотреть	гл. 3, в которой введены ос

новные понятия пространственной геометрии.

Перпендикулярность прямой и плоскости определяется следую щим образом:

Определение

Прямая и плоскость называются п е р п е н д и к у л я р н ы м и , если они пересекаются и если каждая прямая, лежащая в данной плоскости и проходящая через точку их пересечения, перпендику лярна данной прямой. Если прямая I и плоскость Е перпендику лярны, то мы пишем I J_ Е или Е _LI.

						I
На этом рисунке				показаны три прямые, лежащие в Е и про
ходящие через	точку			Р.	В соответствии с нашим определением
все они должны быть перпендикулярны							прямой I в точке Р,
хотя может показаться,					что	это и не так. (На чертеже, выпол
ненном с учетом законов					перспективы, перпендикулярные прямые
не всегда выглядят			перпендикулярными.)				Заметим, что	если бы
мы потребовали		только,			чтобы одна прямая плоскости			Е была
перпендикулярна		прямой			/,	то это ничего бы не дало: вы легко
можете убедиться, что каждая плоскость, проходящая								через Р,
содержит такую		прямую.			С другой стороны, если бы оказалось,
что плоскость	Е	содержит две прямые,					перпендикулярные пря
мой I в точке	Р,		то I ±_Е			в точке Р. Эта идея будет раскрыта

в следующих параграфах.

Задачи к § 1

1.На рисунке изображена плоскость Е.

а) Любая ли точка, не принадлежащая изображенной фигуре, лежит в £ ?

235

Ъ) Подразумевает ли наш	рисунок, что плоскость Е включает каждую
точку вне нарисованной	фигуры?

2. а) Изобразите плоскость, перпендикулярную вертикальной прямой.

B ) Изобразите плоскость, перпендикулярную горизонтальной прямой.

c)В каждой из плоскостей п. а) и Ь) нарисуйте по три прямые, проходя щие через точку пересечения с исходной прямой. В каждом случае ска жите, в каком отношении находится каждая из этих трех прямых с ис ходной прямой.

3.Перечитайте определение перпендикулярности прямой и плоскости и на осно вании этого определения решите, верно или нет следующее утверждение:

Если прямая перпендикулярна некоторой плоскости, то она перпенди кулярна каж дой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения.

4. Можете ли вы заключить, что плоскость Е перпендикулярна прямой Р К ,

если А К Р М — прямой и прямая РМ принадлежит £ ?

5. Дано, что точки	G, Н, S	и Р лежат в плоскости Е	и A B _\|_ Е в точке Р.
Какие из следующих углов должны быть прямыми:
А A P S ,	А H P S ,	А GPH , А G P B , А Н Р Б ,	А НРА7