Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 309

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8. Точки А, В и С на рисунке слева принадлежат плоскости Е, РА _|_ Е и P C — P B . Докажите, что АС = АВ.

Р

9.

Точки

А,

G

и С

на

рисунке справа

лежат в вертикальной плоскости Е ,

 

а точка

Р — «перед»

нею. Докажите,

что если Р А _!_£ и АО — АС, то P G —

 

=

РС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Точки

А,

В и X лежат в

плоскости

Е,

 

а точки

Р

и Q — по

одну

сторону

от Е.

 

Докажите,

что если

P B = QB и PA — QA,

 

то

P X = Q X .

Сохранит

ли

ваше

доказа­

 

тельство силу,

если

Р

и Q будут

лежать

 

по

разные

стороны

от

£ ?

если

Р

и

Q

 

будут принадлежать £ ?

 

 

 

 

 

§2. ЛЕММА

Вконце предыдущего параграфа мы упомянули о том, что если плоскость Е содержит две прямые, перпендикулярные пря­

мой I в точке Р, то £ _L / в точке Р. Доказательство этой тео­ ремы является довольно длинным. Чтобы оно выглядело немножко более легким, мы докажем сначала одну подготовительную тео­ рему, которая поможет нам в главном доказательстве. Такие «вспомогательные теоремы» называются леммами. Этот термин

происходит от греческого слова,

означающего ветвь. Таким обра-

сом, лемма —это

ветвь длинного до­

р

казательства.

 

 

 

доказать нетрудно.

 

Нашу

лемму

 

Теорема 8.1

 

 

 

 

 

Если точки В

и

С равноудалены S

 

от точек Р и Q, то и каждая точка,

 

лежащая между В

и С, равноудалена

 

от точек Р и Q.

 

 

тео­

 

Другую формулировку этой

 

ремы передает рисунок. Заметим,

что

 

точки Р,

В, X и

С дол'жны лежать

 

в одной

плоскости,

потому что точка X принадлежит пря­

мой ВС, и существует плоскость, содержащая прямую ВС и

237

точку Р. Но легко может случиться,

что Д ВPC и Д BQC будут

лежать

в различных

плоскостях, и

именно этот

случай понадо­

бится

нам в доказательстве основной теоремы.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

1°.

Как указано на рисунке, нам дано, что

BP = BQ и СР = CQ.

На

основании ССС отсюда следует, что

A B P C g ^ A B Q C .

 

/_ РВС ^ AQBC.

 

2°. Следовательно,

РВХ QÉ Д QBX.

3°. На основании СУС отсюда следует, что Д

4°. Из 3° вытекает,

что

PX = QX, т. е. что точка X равноуда­

лена от Р и Q, а это

нам и требовалось доказать.

182).

Нам будет нужно

также следствие 6.2.1 (стр.

Следствие 6.2.1

Даны отрезок AB и прямая I, лежащие в одной плоскости. Если каждая из каких-либо двух точек прямой I равноудалена от А и В, то I является медиатрисой отрез­

ка AB.

нам потребуется

Это следствие

лишь

в одном частном случае,

ко­

торый

передается

следующим

А

ри­

сунком:

§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Теорема 8.2

Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух пере­ секающихся прямых в точке их пересечения, то она перпендику­ лярна плоскости, содержащей эти прямые.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Пусть Іх и 12 — две прямые в плос­

кости Е, пересекающиеся

в точке

А, а I — прямая, перпендику­

лярная и Іх и /2 в точке А. Тогда прямая I перпендикулярна каждой

прямой 13, проходящей через А и

принадлежащей Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1°. Пусть Р и Q—две точки прямой /,

равноудаленные от А.

Тогда Іх и /2 являются медиатрисами

отрезка PQ (разумеется,

лежащими в двух различных плоскостях).

238

"

2°. Каждая из прямых іі и /2 содержит точки, лежащие в плоскости'/? по разные стороны от прямой /3. Пусть В и С—точки

прямых /х и /2, лежащие

в Е по противоположные стороны от /3.

Тогда прямая /3 содержит точку X, заключенную между В и С.

3°. В силу

1° и теоремы 6.2 каждая из точек В и С равно­

удалена от точек Р и Q.

 

 

4°. По теореме 8.1 точка X равноудалена от Р и Q.

5°. Таким образом,

прямая /3 содержит середину отрезка PQ

и другую точку X, равноудаленную от Р и Q.

По следствию 6.2.1

l3 _Ll,

что и требовалось доказать.

Задачи

к § 3

 

 

 

 

 

1. Даны

точки А,

G,

Н,

К ,

J и

М в плос­

кости

Е. Точки

А,

G

и J

неколлинеарны

и A P X AG и А Р _1_ A J . Докажите, что

прямая А Р перпендикулярна прямым А К

и ' Ш .

2.В каком отношении находятся прямая /,

линия

пересечения

двух стен

в вашем

классе,

и плоскость

F пола?

Объясните.

Перпендикулярна ли прямая I каждой пря­ мой, лежащей в F ? Сколько прямых в плос­ кости F перпендикулярны прямой /?

3.

На этом

рисунке

A B X ВС,

D B J_ В С

и

 

A B — BD . Докажите,

что Д A B C ^

£\D BC .

 

Будет ли AB _| Е ?

Почему

да или

почему

 

нет?

 

 

 

 

 

 

4.

Квадрат

ABCD

находится

в плоскости

Е .

 

Р — не

лежащая в плоскости Е точка,

для

 

которой

PA X AB.

 

 

 

 

a)Назовите все плоскости, определяемые парами отрезков.

B ) По крайней мереодин из отрезков пер­ пендикулярен одной из плоскостей, о ко­ торых шла речь в а). Какой отрезок? Какой плоскости? Помогает ли вам отве­ чать на поставленный вопрос теорема 8.2?

5. Какой отрезок в задаче 3 перпендикулярен какой плоскости?

А

Р

Р

6. Дано, что точка К является сёрединой от­ резка DG и что, кроме того, AD = A G и

K P X Ä K , причем точка Р не лежит в плос­ кости ADG. Если здесь есть отрезок, перпен­ дикулярный некоторой плоскости, то назо­ вите этот отрезок и эту плоскость.

239

7. На этом рисунке

PQ J . M P ,

PQ

TQ

Т

и M P _L М Т , Перпендикулярен ли какой-

 

нибудь отрезок на

этом рисунке какой-

 

либо плоскости? Назовите все такие пары

 

«отрезок — плоскость», если

они

суще­

 

ствуют.

 

 

 

 

8.

A B

и CD — конгруэнтные отрезки,

делящие друг

друга пополам в точке М.

 

Прямая /

перпендикулярна

каждому

из этих отрезков в точке М . Р — любая

 

точка прямой

I.

Сделайте

рисунок

и докажите,

что точка Р

равноудалена

 

от точек А, В,

С

и D.

 

 

 

 

 

 

9 *,

На

этом

рисунке

изображен

куб,

при­

В

G

 

чем

В К — В М .

Докажите,

что

точка Н

 

равноудалена

от

точек К

и М . (В

до­

 

 

 

казательстве

вы

можете

пользоваться

 

 

 

следующими

свойствами куба:

а)

Все

 

 

 

двенадцать

ребер куба

конгруэнтны.

 

 

 

Ь) Любые два

его

пересекающиеся

ребра

 

 

 

перпендикулярны.)

 

 

 

 

 

 

 

10*. Если точки А,

В,

С и D некомпланар­

С

ны,

AD = DC,

В С — В А

и

L D B A —

 

прямой угол,

то

по

крайней

мере один

 

из изображенных на рисунке отрезков

 

перпендикулярен

одной

из

плоскостей.

 

Какой отрезок и какой плоскости? Дока­

 

жите,

что ваш

ответ

правилен.1

 

11 *. Плоскости Е и F на этом рисунке пере-

секаются

по

прямой

A B .

Прямая

RQ

лежит в плоскости F ,

а прямая W X — в

плоскости

Е .

Кроме

того,

RQ j_ A B

и

W X _L F.

Докажите,

что RQ J Е .

 

240

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ

Доказательством теоремы 8.2 закончилась трудная часть этой главы. Все остальное, что нам нужно узнать, получается совсем просто.

Теорема 8.3

Через каждую точку данной прямой проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

I

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть I — данная прямая, Р — произволь­ ная точка на ней.

1°. Возьмем две любые различные плоскости М и N, содер­ жащие I.

(Вопрос. Откуда мы знаем, что существуют две различные пло­ скости, содержащие /? Вспомните аксиому 5 и теорему 3.3)

2°. В плоскости М существует прямая /ь перпендикулярная прямой I в точке Р (теорема 6.1).

3°. В плоскости N существует прямая 12, перпендикулярная прямой I в точке Р (теорема 6.1).

4°. Существует плоскость Е, содержащая прямые Іх и /2 (тео­ рема 3.4).

5°. Е _]_ / в точке Р (в силу 2°, 3° и теоремы 8.2).

Теорема 8.4

Если прямая и плоскость перпендикулярны,, то эта плоскость содержит каждую прямую, перпендикулярную данной прямой

вточке ее пересечения с плоскостью.

Др у г а я ф о р м у л и р о в к а . Если прямая I перпендикулярна плоскости Е в точке Р и если прямая Іх перпендикулярна прямой I

вточке Р, то Іх лежит в плоскости Е.

241

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверж дения Аргументы

1.

1 и 1г лежат в

некоторой

плоско-

?

 

 

сти F.

 

 

 

 

 

?

 

2.

Пересечение

плоскостей

F u E

 

 

есть некоторая

прямая

12.

 

 

 

3.

/2 _1 /

в

точке

Р.

 

 

Определение

перпендикулярности

 

 

 

 

 

 

 

прямой и плоскости.

4.

lt 1 1

в

точке

Р .

 

 

Дано.

 

5.

1\ и /2 — одна

и та же

прямая.

По теореме 6.1 в плоскости F суще-

 

 

 

 

 

 

 

ствует только одна прямая, пер-

6.

І-і лежит в плоскости

Е.

 

пендикулярная 1 в точке Р.

 

В силу шага 2

прямая /2 лежит в Е,

 

 

 

 

 

 

 

а в силу шага 5 /і = /а.

Теорема 8.4 позволяет установить, что перпендикулярная плоскость, о которой говорится в теореме 8.3, е д и н с т в е н н а .

Теорема 8.5

Через данную точку данной прямой проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если бы нашлись две различные перпенди­

кулярные плоскости, то их

пересечение

представляло

бы

собой

единственную прямую.

Но

это

невозможно, потому

что

каждая

из них содержит все

прямые,

перпендикулярные данной

прямой

в данной точке.

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что медиатриса отрезка в

данной плоскости

была

охарактеризована как множество всех точек этой плоскости, равно­ удаленных от концов отрезка. Для медиатрисы-плоскости в про­ странстве мы имеем характеризационную теорему точно такого же рода.

242

Смотрите также файлы