Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Определение

М е д и а т р и с о й-п л о с к о с т ь ю данного отрезка в пространстве называется плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его сёредину. (Из теоремы 8.5 вытекает единственность меди- атрисы-плоскости данного отрезка.)

Теорема 8.6 (теорема о медиатрисе-плоскости)

Медиатриса-плоскость любого отрезка есть множество всех точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

На рисунке точка С является серединой отрезка AB. Заметим, что формулировка нашей теоремы, как и формулировка любой другой характеризационной теоремы, распадается на две части.

Чтобы доказать 1°, нужно знать определение перпендикуляр­ ности прямой и плоскости и условие, характеризующее медиатрису отрезка в плоскости. Для доказательства 2° нужна также теорема 8.5. Детали этих двух доказательств представляются вам.

Задачи к § 4

1.а) Сколько прямых перпендикулярны данной прямой в данной ее точке? Ь) Сколько плоскостей перпендикулярны данной прямой в данной ее точке?

АТ. Сколько плоскостей определяется этими лучами? Есть ли на этом рисунке больше ■ fpex компланарных точек? Если да, то почему? (Предполагается, что ни­ какие три из заданных точек не коллинеарны.)

243

.244

ІО*. Сформулируйте теорему 8.6, используя выражение «в том и только в том случае».

11*. Можно ли было теорему 8.5 доказать до теоремы 8.3? Объясните.

компланарны с двумя данными точками в том и только в том случае, если

§ 5. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ (СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ)

Следующие теоремы представляют сводку некоторых из основ­ ных фактов о перпендикулярных прямых и плоскостях. Одни доказательства являются простыми, а другие—довольно длинными, и мы не будем здесь каждое из них проводить. Но мы продемон­ стрируем встречающиеся здесь рассуждения* сопроводив подроб­ ными указаниями доказательство следующей теоремы.

Теорема 8.7

Дее прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, компланарны.

Чтобы понять, как нужно проводить доказательство, рас­ смотрим сначала ситуацию, к ‘ которой мы приходим в том слу­ чае, если наша теорема верна.

Иными словами, допустим, что две рассматриваемые прямые действительно лежат в одной плоскости, и спросим: в к а к о й плоскости должны они лежать?

245

того, такой отрезок PQ плоскости Е, что AB и PQ пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

Определенно видно, что PQ_[_F в точке М. Если это так, то плоскость F является медиатрисой-плоскостью отрезка PQ.

До сих пор, разумеется, мы ничего не доказали, так как

а затем показать, что прямые Іх и /2 принадлежат медиатрисеплоскости отрезка PQ.

Эта идея проходит. Вот главные шаги доказательства: 1°. AP — AQ (как указано на рисунке).

2°. A C A P g ^ A C A Q .

3°. CP = CQ.

4°. Точка С принадлежит медиатрисе-плоскости отрезка PQ. Обозначим ее буквой F.

5°. Прямая Іх принадлежит F.

Точно таким же образом заключаем, что и 6°. Прямая /2 принадлежит F.

Итак, плоскость, которую мы разыскивали, действительно

является медиатрисой-плоскостью отрезка PQ; эта плоскость содержит обе прямые Іх и Іг, откуда и следует, что эти прямые компланарны.

Вы можете счесть, что обсуждение, предшествовавшее дока­ зательству, было для вас ценнее, чем само доказательство. Дока­ зательство, если оно уже получено, является логическим, но процесс придумывания доказательства бывает логическим очень редко. Вам нужно изо всех сил стараться найти способ дока­ зательства. И одним из лучших приемов для этого является метод «принимать желаемое за действительное», именно его мы проиллюстрировали в начале этого параграфа.

246

Теорема 8.8

Через данную точку проходит одна и только одна п л о с к о с ть ,

перпендикулярная данной п р я м о й .

принадлежать данной прямой или плоскости. Теоремы говорят нам, что в каждом из этих четырех случаев мы имеем и сущест­ вование и единственность. Это значит, что всего нам требуется восемь доказательств. Два из них уже были даны —см. выше, теоремы 8.3 и 8.5.

Теорема 8.9 гарантирует нам существование единственного пер­ пендикуляра к данной плоскости, проведенного из данной точки, не лежащей в этой плоскости. Поэтому оправдано следующее определение, аналогичное определению, которое мы дали после теоремы 7.7.

Определение

Р а с с т о я н и е от точки до не содержащей ее плоскости есть длина перпендикулярного отрезка, проведенного из этой точки до этой плоскости.

доказательство с того, что проведем через прямые PR и PQ плос­ кость. Довести доказательство до конца предоставляется вам.

247