ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 313
Скачиваний: 0
Задачи к § |
5 |
|
|
|
|
|
1. Из точки А , не лежащей на плоскости Е , |
А |
|||||
проведен к этой плоскости кратчайший |
|
|||||
отрезок, пересекающий ее в точке В . |
|
|||||
Прямые I и I' лежат в плоскости Е , |
|
|||||
причем I |
содержит |
точку В |
и |
/' 1. I. |
|
|
Покажите, |
что |
если |
такая |
прямая, |
|
|
что I" А. I |
и Г |
_1_ Г, |
то прямые |
Г |
<■> |
|
и A B |
|
|||||
компланарны. |
|
|
|
|
|
|
2. Докажите следующий |
частный |
случай теоремы 8.9. |
|
|||||||||||
|
Существует |
не |
более одной |
прямой, перпендикулярной данной плоскости |
||||||||||
и |
проходящей |
через |
данную |
точку, |
не п ринадлеж ащ ую данной плоскости. |
|||||||||
3 *+ . Точки |
Р |
и Q |
лежат по противополож |
Р |
||||||||||
ные стороны от плоскости Е и равноуда |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
лены |
от |
этой |
|
плоскости. |
Перпендику |
|
||||||||
ляры |
из Р |
и |
Q на плоскость |
Е |
пересе |
|
||||||||
кают |
Е |
соответственно |
в точках |
R |
и S . |
|
||||||||
Докажите, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a) |
отрезок |
PQ |
пересекает |
отрезок |
SR |
|
||||||||
в |
некоторой точке Т\ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
B ) |
точка |
Т |
является |
серединой |
отрез |
|
||||||||
ка |
S R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вопросы и задачи для повторения
1. Если нужно, |
сделайте |
рисунок, |
который |
поможет вам |
решить,- верно |
или |
нет каждое из следующих утверждений: |
|
|
|
|||
a) Если две |
плоскости |
пересекаются, то их |
пересечение |
есть прямая. |
|
|
B ) Три прямые могут |
пересекаться в одной точке так, |
что каждая из |
них |
|||
будет перпендикулярна двум |
другим. |
|
|
|
||
c)Если прямая перпендикулярна каждой из двух других прямых, то она перпендикулярна плоскости, содержащей эти две прямые.
d)Пересечение двух плоскостей может оказаться отрезком.
e) Существует ровно одна прямая, перпендикулярная данной плоскости
вданной ее точке.
f)Для любых четырех точек существует плоскость, их содержащая.
g)Если какая-либо прямая пересекает некоторую плоскость только в одной точке, то в этой плоскости существуют по крайней мере две прямые, пер пендикулярные этой прямой.
h)Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендику лярную данной прямой.
i)Если три прямые попарно пересекаются, но нет точки, принадлежащей всем трем прямым, то эти три прямые компланарны.
І) Три плоскости могут разбивать пространство на восемь областей.
248
2.Дополните. Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, е с т ь ...
этого отрезка.
3.Дополните. Расстояние от точки до не содержащей ее плоскости есть ... .
4.Дополните. Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух ...
прямых в .... то она перпендикулярна |
..., содержащей эти прямые. |
||||||
5. На этом |
рисунке |
Д А ВС — равносторон |
|||||
ний |
треугольник, |
лежащий в |
плоско |
||||
сти Е , и луч CD |
делит пополам А ВСА. |
||||||
Если |
отрезок |
HD |
перпендикулярен |
от |
|||
резку |
CD , то |
по крайней мере |
один от |
||||
резок |
на |
этом |
рисунке |
перпендикулярен |
|||
одной |
из |
плоскостей, |
Какой |
отрезок? |
|||
Какой |
плоскости? |
|
|
|
|
||
6. Плоскость |
Е |
содержит |
точки |
Л |
и |
К ; |
J A J. Е, |
C K L |
Е, но |
А ф К- |
Сколько |
||
плоскостей определяется |
точками А, |
К , |
С |
|||
и J ? Объясните.
7.Если боковые штанги ворот в одном конце футбольного поля перпендику лярны этому полю, то они компланарны, даже если их не соединяет верх няя штанга. Какая теорема подкрепляет это заключение? Могут ли они остаться компланарными, не будучи больше перпендикулярными полю? Если
их соединить |
верхней штангой, |
то будет ли это гарантировать, что они |
|
всегда будут компланарны? |
|
|
|
8. Луч A B перпендикулярен |
вертикальной |
||
плоскости Е, |
а точки А, В, |
С, D, |
G и Н |
лежат в этой плоскости. Чему равна сумма
т А D A P + m А С А Р ?
Если А С A B — прямой угол, то по край
ней мере один луч, отличный от ~АР, и одна плоскость, отличная от Е, перпенди кулярны. Назовите все такие пары луч — плоскость.
9. Д А ВС лежит в плоскости Е. Р — точка,
не лежащая в £ и такая, что РА 1 AB,
P A ±. АС и P D JL ВС, где D — точка, при
надлежащая отрезку ВС. Какое из усло вий РА > PD , Р А — PD , Р А < PD
верно? Почему?
249
10. |
Д Н М Т |
лежит |
в |
плоскости |
Е. |
Кроме |
К |
|||||||
|
того, |
НМ = |
ТМ, |
К М _| Е. |
Что |
верно: |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
L |
К Н Т > |
L K T H , |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
L |
К Н Т ^ |
L К Т Н , |
|
|
|
|
|||||
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
К Н Т < |
L К Т Н ? |
|
|
|
|
|||||
|
Почему? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Д а н о . |
Плоскость |
Е |
содержит Д |
АВС, |
|
|||||||||
|
Прямая |
I _L Е |
в точке Т. |
Точка Т |
равно |
|
||||||||
|
удалена |
от точек |
А, |
В |
и |
С. |
X — любая |
|
||||||
|
точка прямой А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
|
Точка |
X |
|
||||||||
|
равноудалена от точек Л, В |
и С. |
|
|
|
|||||||||
12. |
Докажите, |
что |
если каждая |
из точек |
А |
|
||||||||
|
и В |
равноудалена от точек |
Р |
и Q, то и |
|
|||||||||
|
каждая |
точка |
прямой |
A B |
равноудалена |
|
||||||||
|
от Р |
и Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Д а н о. Прямые В С и B D лежат в плос
кости Е\ плоскость F _L BD в точке б;
плоскость G _L ВС в точке В; плоскости
G и F пересекаются по прямой AB.
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . Ä B _[_ Е . |
|
|||||||||||
14. |
Д R SQ на рисунке лежит в |
плоскости Е |
|
||||||||||
|
и |
P R |
_L Е . |
Докажите, |
|
что |
если |
|
|||||
|
L |
POR S Ë L |
P S R , |
то |
Z |
PQS |
|
L |
POS. |
|
|||
15. |
Докажите, |
что если |
на |
том |
же |
рисунке |
|
||||||
|
P R 1 |
Е , P R > R S , SQ L |
R Q H M |
L PQ, |
|
||||||||
|
то |
PQ > |
QS. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16*. Дан |
куб, |
изображенный |
на |
|
Н |
G |
|||||||
рисунке, |
|
||||||||||||
|
причем |
В К — В М |
и |
б — середина |
отрез |
|
|||||||
|
ка |
К М . |
Докажите, |
что |
плоскость |
H D P |
|
||||||
|
является медиатрисой-плоскостью отрез |
|
|||||||||||
|
ка |
К М . |
(Вы |
можете |
пользоваться |
свой |
|
||||||
|
ствами |
куба, |
указанными |
в |
задаче 9 к |
|
|||||||
|
§ |
3 этой главы.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
250
17*. Докажите, что каждый из четырех лучей A B , АС, AD и A E не может быть перпендикулярен трем другим.
Конкурсная |
задача |
|
|
Д а н о . |
А Р 1 |
PQ, A P 1 P C , |
А |
|
P Q J _ Ü C , Q — B — C. |
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . ÄQ !_ ВС. |
|||
( У к а з а н и е . |
Возьмите на прямой |
В С |
|
такую точку R , |
что Q R ^ Q B .) |
|
|
Q
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. УСЛОВИЯ, ГАРАНТИРУЮЩИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Существуют три способа расположения двух прямых в про
странстве. |
могут |
пересекаться |
в некоторой |
точке. Теорема |
3.4 |
||
1°. Они |
|||||||
утверждает, |
что в |
этом случае |
они |
должны |
быть компланарны. |
||
2°. Они |
могут |
не пересекаться |
и не быть |
компланарными. |
|||
В этом случае они называются |
скрещивающимися |
прямыми. |
Рас |
||||
смотрим, например, |
прямую Іъ |
идущую по полу |
вашей комнаты |
||||
вдоль одной из стен, и прямую /2, идущую по потолку перпен
дикулярно этой стене. Эти две прямые |
будут скрещивающимися. |
|
3°. Наконец, эти две прямые могут |
лежать |
в одной плоскости |
и не пересекаться. В этом случае мы будем |
говорить, что наши |
|
две прямые параллельны. |
|
|
Определение |
прямые называются с к р е щ и в а ю щ и |
Две некомпланарные |
|
мися. |
|
Определение
Две прямые называются п а р а л л е л ь н ы м и , если они
1°. компланарны;
2°. не пересекаются.
Следующая теорема позволяет нам говорить о (единственной!) плоскости, содержащей две параллельные прямые.
Теорема 9.1
Две параллельные прямые принадлежат одной и только одной плоскости.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если прямые Іх и /2 параллельны, то из определения следует, что они лежат в некоторой плоскости Е.
Нам остается только показать, что |
они лежат только в о д н о й |
|
плоскости. |
|
существует |
Пусть Р —любая точка прямой /2. По теореме 3.3 |
||
единственная плоскость, содержащая |
и Р. Поэтому |
существует |
только одна плоскость, содержащая прямые Іг и /2, так как каж дая плоскость, содержащая прямую /2, содержит и точку Р.
253
Чтобы указать, что прямые /х и /2 параллельны, мы будем писать
/і II 1%-
Если два отрезка AB и CD принадлежат параллельным прямым, то для краткости мы будем говорить, что сами эти отрезки па
р а л л е л ь н ы , и писать AB\\CD.
|
|
|
|
А |
в |
|
|
|
|
С |
|
О |
|
Точно |
так же |
мы будем поступать с двумя лучами, |
лучом и |
|||
отрезком |
и |
т. д. |
Например, |
если |
дано, что AB || CD, то |
мы мо |
жем также |
написать: |
|
|
|
||
|
|
|
ÄB\\CD, |
ÄB\\CD, ÄB\\CD |
|
|
и т. д. еще для двенадцати подобных же случаев.
На основании определения может показаться, что решить, бу дут ли две прямые параллельны, вовсе не легко. Каждая из этих прямых неограниченно простирается в двух направлениях; поэто му, казалось бы, чтобы решить, пересекутся ли эти прямые или
нет, |
нужно видеть |
каждую из (бесконечных!) прямых целиком. |
Однако в некоторых |
случаях мы можем заключить, что две пря |
|
мые |
параллельны, |
взглянув на малые отрезки этих прямых. |
Так, |
например, справедлива следующая |
|
Теорема 9.2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если две прямые на плоскости |
||||||||
перпендикулярны |
одной и той же |
||||||||
прямой, |
то они параллельны. |
||||||||
что |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
и |
Дано, |
||||||
Іі J_l |
в |
точке |
Р |
/2 _1_ / |
|||||
в точке |
Q. |
Кроме того, дано, что |
|||||||
R и /2 компланарны. Нужно до |
|||||||||
казать, |
что они |
не |
пересекаются. |
||||||
|
Допустим, |
что Іі |
и /2 |
пересе |
|||||
каются в точке R. |
Тогда |
имеется |
|||||||
два |
перпендикуляра, |
опущенные |
|||||||
из точки R |
на |
/. |
Но |
по |
теореме |
||||
6.4 |
это |
невозможно. |
|
Следователь |
|||||
но, |
/і||/2. |
(Вопрос. |
Каким ме |
||||||
тодом доказательства мы здесь вос пользовались?)
р
J |
г , |
0 |
|
J |
Г 2 |
' |
L |
254
