Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Может показаться естественным попытаться после этого дока­ зать, что параллельная прямая, существование которой вытекает из теоремы 9.3, е д и н с т в е н н а . Иными словами, можно было бы попытаться доказать следующее утверждение:

Существует т о л ь к о о дн а прямая, проходящая через данную точку, не принадлежащую данной прямой, и параллельная данной прямой.

Дело, однако, обстоит так, что это утверждение нельзя дока­ зать как теорему на основании имеющихся у нас к этому моменту аксиом. Его нужно принять в качестве новой а к с и о мы . Эта аксиома имеет длинную и интересную историю. Более двух тысяч лет общепринятым учебником геометрии были «Начала» Евклида, написанные приблизительно за 300 лет до нашей эры. В «Началах» Евклид пользовался аксиомой, утверждающей единственность па­ раллельной прямой. Обычно математики любят принимать на веру как можно меньше — лишь то, без чего нельзя обойтись, а дока­ зывать как можно больше —все то, что удается доказать. По этой причине многие из них пытались превратить евклидовскую акси­ ому параллельности в теорему. Но у них ничего не вышло. Наконец, в девятнадцатом веке было обнаружено, что аксиома параллельности на основании остальных аксиом доказана быть

не может.

Позже мы вернемся к этому вопросу. А пока исследуем усло­ вия, при которых можно утверждать, что две прямые параллель­ ны, несколько глубже, чем раньше.

255

пересекающая их в двух различных точках.

На каждом из следующих рисунков /_ 1 и /_ 2 являются внут­ ренними накрест лежащими.

Заметим, что прямые, пересекаемые секущей, могут как быть, так и не быть параллельными. Пометки на этих рисунках под­ сказывают, как нужно описать внутренние накрест лежащие углы.

Определение

Даны две прямые Іг и /2 и секущая t, пересекающая их в точках

Теорема 9 .4

Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два внутренних накрест лежащих угла конгруэнтны, то и другие два внутренних накрест лежащих угла конгруэнтны.

256

словами, она включает теорему 9.2 как частный случай. Так как она применима в большем числе случаев, чем теорема 9.2, то она и более полезна. Буквы ВНП в ее названии заменяют слова «внут­ ренние, накрест лежащие, параллельные». Теорему 9.8, обратную теореме 9.5, мы назовем ЛВЯ-теоремой.

Теорема 9.5 (В////-теорем а)

Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два внутренних накрест лежащих угла конгруэнтны, то эти две прямые парал­ лельны.

Пусть S — точка прямой 1{, такая, что S H /? лежат по проти­ воположные стороны от t. Тогда SPQ — внешний угол Д PQR, а Z. PQR — один из внутренних не смежных с ним углов этого треугольника. По теореме о внешнем угле

1.Какие из следующих утверждений являются верными:

a)Если две прямые не лежат в одной плоскости, то они могут оказаться параллельными.

B ) В определении параллельных прямых утверждается, что эти прямые на всем своем'протяжении сохраняют одно и то же расстояние друг от друга.

c)Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой в двух раз­ личных ее точках, то они параллельны.

d)Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то внутренние на­ крест лежащие углы конгруэнтны.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . CD j| AB.

258

B X — B Y . Докажите, что PQ ||АУ-

К

И * . Д а н о . □ A BCD , где Я — середина