Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Почему тем самым не доказано, что сумма мер углов любого треугольника равна 180?

Конкурсная задача

Допустим, что мы приняли следующие два определения:

В ерт икальной прямой называется прямая, содержащая центр Земли.

Горизонт альной прямой называется прямая, перпендикулярная какой-либо

c)М огут ли две вертикальные прямые быть перпендикулярны?

d)Могут ли две горизонтальные прямые быть перпендикулярны?

e)Будет ли каждая вертикальная прямая горизонтальной?

f)Будет ли каждая горизонтальная прямая вертикальной?

g)Может ли горизонтальная прямая быть параллельна некоторой верти­ кальной прямой?

h)Будет ли каждая прямая горизонтальной?

§ 2. СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ

Углы на нашем рисунке, помеченные буквами а и а', назы­ ваются соответственными.

Определение

Даны две прямые и секущая.

260

Теорема 9 .6

Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два соответст­ венных угла конгруэнтны, то и два внутренних накрест лежащих угла конгруэнтны. (Вспомните теорему о вертикальных углах!)

Теорема 9.7

Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два соответст­ венных угла конгруэнтны, то эти две прямые параллельны.

Похоже на то, что должны быть верны и теоремы, обратные теоремам 9.5 и 9.7. Иными словами, если даны две параллельные прямые и секущая, то должны быть конгруэнтны внутренние накрест лежащие углы и должны быть конгруэнтны соответствен­ ные углы. Однако доказательство этих обратных теорем не может быть дано без использования аксиомы параллельности. Мы сформу­ лируем эту аксиому в следующем параграфе, а затем ею восполь­ зуемся.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . GH | КМ .

і

261

§ 3. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

Аксиома 18 (аксиома параллельности)

1 Существует только одна прямая, проходящая через данную точку, не принадлежащую данной прямой, и параллельная данной прямой.

Заметим, что поскольку мы доказали, что параллельная пря­ мая существует, аксиома должна только утверждать, что она единственна. Именно единственность параллельной прямой позво­ ляет доказать теоремы, обратные теоремам из предыдущего пара­ графа. Мы начнем с теоремы, обратной теореме 9.5.

Теорема 9.8 (#Я #-теорем а)

Если даны две параллельные прямые и секущая, то внутрен­ ние накрест лежащие углы кон­

ные прямой /2. Но это противоречит аксиоме параллельности. Следовательно,

Z ag* L Ь,

что и требовалось доказать.

Доказательства следующих четырех теорем являются корот­ кими и совсем простыми, потому мы предоставляем вам провести их самостоятельно.

262

Теорема 9.9

Если даны две параллельные прямые и секущая, то каждые два соответственных угла конгруэнтны.

Теорема 9.10

Если даны две параллельные прямые и секущая, то внутрен­ ние углы по одну сторону от секущей пополнительны.

Теорема 9.11

Если на плоскости каждая из двух данных прямых параллель­ на некоторой третьей, то эти две прямые параллельны.

Аналогичная теорема верна и для случая, когда наши три прямые не компланарны (см. следствие 10.4.2), однако в общем случае она не может быть доказана методами этой главы.

ваться определением соответственных углов и вспомнить теорему о вертикальных углах.

263

Задачи к § 3

1. Дан рисунок, где L C D E ^ L А и / X A B .

Докажите, что I ± DE.

2. Д а н о. □ E A S Y , у которого L E , Z А и Z S — прямые.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . £ У JL S Y .

3, Докажите, что прямая, параллельная основанию равнобедренного треуголь­ ника и пересекающая две его другие стороны в различных точках, обра­ зует новый равнобедренный треугольник.

5. Д а н о . Рисунок, где R T — R S и PQ ||#S . Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . PQ = Р Т .6

6 . На этом рисунке Z х й ё L у и Д [|12. До­ кажите, что /і||/3.

264