7. Дан |
рисунок, где /іЦ/j и tf |[ t2. Докажите, |
что |
L x = £ . y - |
8. Дано, |
что |
отрезки |
АС и DB пересекаются |
в точке |
Е, причем А — Е — С, |
D — Е — В, |
AD = BC |
и |
AD || ВС. Докажите, |
что отрезки АС и DB делят |
друг друга пополам в точке Е . |
|
|
|
р |
9. Дан Д PMN. Луч MX делит пополам z М, |
|
|
луч N X делит пополам |
L N и отрезок QR, |
|
|
проходящий |
через точку |
X , параллелен |
от |
|
|
резку |
MN. |
Докажите, |
что Д QMX |
и |
|
|
& R X N — равнобедренные треугольники. |
|
|
|
10+ . Докажите |
методом от противного |
следую |
h |
|
щую теорему: |
|
|
и /2. |
р |
Даны две параллельные прямые |
h |
|
Если третья прямая 13, |
лежащая в той же |
|
плоскости, пересекает |
одну из параллельных |
|
|
прямых, скажем 12, то она пересекает и |
L1 |
|
другую прямую Іѵ |
|
|
|
|
|
11. Даны две параллельные прямые и секущая. Докажите, что биссектрисы любых двух соответственных углов параллельны.
'12. Докажите следующую теорему:
Если на плоскости стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то эти два угла либо
a) конгруэнтны, либо
B) пополнительны.
З а м е ч а н и е . |
На |
рисунке |
показано только |
два случая, |
но подобные же |
легкие доказательства можно дать и для |
всех |
остальных |
случаев. В каче |
стве указания |
см. выше задачу 7. |
|
|
__ |
|
13*. Биссектриса |
/. А в Д АВС пересекает |
сторону ВС в |
точке D. Медиат- |
риса отрезка AD пересекает сторону АС в точке G. Докажите, что GD ||AB- |
14*. Биссектрисы |
Z f |
и Z |
G А F G H пересекаются в точке С. Прямая, прове |
денная через С параллельно |
стороне FG , |
пересекает сторону F H в точке А |
и сторону GH |
в |
точке |
В. |
Докажите, |
что периметр Д АВН равен сумме |
F H + GH.
15*. Дан Д АВС. Докажите, что если А лежит на прямой, параллельной сто роне ВС, то т L Л + от Z В -j-m Z С — 180.
16+ . Если вместо аксиомы параллельности при нять за аксиому теорему 9.8, то аксиому параллельности можно доказать как теорему:
Даны прямая I и не принадлежащая ей точка Р . Тогда существует не более одной прямой Іѵ содержащей точку Р и парал лельной прямой I.
( У к а з а н и е . Будет ли а = b = с ? )
17+. Покажяте, что если принять за аксиому теорему 9.12, то аксиому параллельности можно доказать как теорему.
§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Теорема 9.13
Сумма мер углов каждого треугольника равна 180.
В
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Дан /\А В С . |
Пусть / — прямая, |
прохо |
дящая через |
вершину В |
параллельно |
стороне АС, а Z х, |
Z х', |
Z у, |
L y ' и |
Z г — углы, |
указанные на рисунке. |
|
|
|
Утверждения |
|
|
|
Аргументы |
|
1. т |
L х — т |
L х ' . |
|
Это — внутренние накрест лежащие |
2. |
т |
Z у — т |
L у'. |
|
углы. |
|
|
|
|
То же, |
что и в шаге 1. |
|
3. |
т |
L ABD=m L z+m L у'- |
Аксиома |
сложения углов. |
|
4. |
т |
L x-f-rn z. ABD — 180. |
|
Аксиома |
пополнения. |
|
5 . |
|
m L x' + m t z+m L y' — 180. Шаги |
3 |
и 4. |
|
6. |
m Z x-j-m /. z-\-m /. г / = |
180. |
Шаги |
1, |
2 и 5. |
|
Из этой теоремы вытекает несколько очень важных следствий.
Следствие 9.13.1
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если два угла одного треугольника конгруэнтны двум соответствующим уг лам другого треугольника, то и третий угол первого треуголь ника конгруэнтен третьему углу второго треугольника.
Следствие 9.13.2
Острые углы прямоугольного треугольника являются дополни тельными.
Следствие 9.13.3
Мера внешнего угла любого треугольника равна сумме мер двух внутренних углов, не смежных с ним.
В доказательстве теоремы 9.13 мы воспользовались аксиомой параллельности. Мы поступили так не просто ради удобства; в действительности без аксиомы параллельности эту теорему до казать нельзя. В девятнадцатом веке было открыто, что воз можна и отличная от изучаемой в школе геометрия (называемая
теперь гиперболической геометрией, |
или геометрией Лобачевского), |
в которой аксиома параллельности |
не выполняется. Гиперболиче |
ская геометрия — не только большая и серьезная ветвь математики;
|
|
|
она очень |
полезна и в физике. В гиперболической геометрии тео |
рема 9.13 |
не только недоказуема — она фактически неверна. В этой |
геометрии имеют место и многие |
другие странные вещи. Напри |
мер, в гиперболической геометрии |
невозможно точно изобразить |
на листе бумаги большую фигуру, |
так как в ней никакие две фи |
гуры разных размеров не имеют в точности одной и той же формы. Евклидова геометрия, однако, превосходно передает свойства окружающего нас физического пространства. И конечно, именно
эту (самую простую) систему нужно изучить прежде всего.
Задачи к § 4
1. Какую меру имеет третий угол треугольника, если два первых его угла имеют следующие меры:
а) |
64 |
и |
59; |
Ь) |
26 |
и 134; |
с) |
k и |
2fe; |
d) |
и |
и |
V |
е) |
90 |
и п; |
f) |
60 + |
в и 60 — а? |
2. Меры углов треугольника находятся в отношении 1 : 2 : 3 . Найдите меру каждого угла.
3. Мера первого угла треугольника на 25 больше меры второго угла, а мера третьего угла на 9 меньше, чем удвоенная мера второго. Найдите меру каждого угла.
4. Определите меру каждого угла на этом рисунке.
|
5. Дано, что Z Л = |
Z D и Z В ^ |
С |
|
Z Е . Объясните, почему мы мо |
|
|
|
жем или же почему |
не можем за |
|
|
ключить, что |
|
|
|
a) Z C s Z f ; |
^ |
|
b) A B |
|
D Ë . |
|
А |
6. |
Мера |
первого угла треугольника в 5 раз больше меры второго угла, а мера |
|
внешнего угла при третьей вершине равна 120. Найдите меру каждого угла |
|
этого |
треугольника. |
<, |
7. |
На |
этом |
рисунке |
P R J_ RQ, |
|
S T _L RQ |
и |
SQ 1 P S . |
Докажите, |
|
что / |
P |
/ |
Q. |
|
8. Z |
A C B |
в |
Д A B C |
является |
пря |
мым |
и |
CD J_ A B . |
Докажите, |
что |
Z |
А |
£ * |
Z |
BCD . |
|
|
9.Докажите: Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне этого треугольника, то этот треугольник— равнобедренный.
10.Докажите. Если прямая, содержащая вершину равнобедренного треуголь ника, параллельна его основанию, то она делит пополам каждый внешний угол при вершине.1
11.Почему аксиома параллельности играет существенную роль в доказатель стве теоремы 9.13?
12.Д а н о. Рисунок.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . а-\-Ь = х-\-у.
( У к а з а н и е . Проведите отрезок М Н .)
13* |
. Z С в Д А ВС — прямой, |
а М — такая точка гипотенузы, что АМ = СМ. |
|
Докажите, что точка М равноудалена от вершин А, В и С. |
14* |
. Д а н о . В Д |
PQR Z. R — прямой, QT = QV |
|
и P S = P K . |
|
|
|
|
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
х = |
45. |
|
( У к а з а н и е . |
Пусть т /. Р = а. |
Напишите |
|
формулы для |
мер остальных |
углов.) |
е
СС
15*. Рассмотрите три нарисованных здесь треугольника. Какое наблюдение
относительно |
D E |
и |
АС можно в |
каждом |
случае сделать? Как D E отно |
сится к |
АС? |
Что |
это |
за |
точки |
D и Е? |
Не |
подводят ли ваши ответы |
к какому-то |
важному |
свойству треугольников? |
Сформулируйте гипотезу об |
отрезках |
D E |
и |
АС |
и их |
длинах |
D E и АС. Можете ли вы найти пример, |
показывающий, |
что |
ваша |
гипотеза |
ошибочна? Можете ли вы доказать, что |
она верна? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16*. В Д А В С ңмеем: АС = В С . Точка D лежит на прямой В С , а точка Е —
на прямой A B так, что C — B — D , А — Е — В и BD — B E , Прямая D E пере
секает сторону АС в точке F . Докажите, что т L C F E = 90.
§ 5. ПЛОСКИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Напомним определение четырехугольника из § 8 п. 5.
В
