Определение
Пусть А, В, С и D — четыре точки, принадлежащие одной плоскости. Если никакие три из них не коллинеарны и отрезки
AB, ВС, CD и DA пересекаются только в точках А, В, С и D,
то объединение |
этих четырех отрезков называется |
ч е т ы р е х |
у г о л ь н и к о м . |
Рассматриваемые четыре отрезка |
называются |
с т о р о н а м и четырехугольника, а точки А, В, С и D —его в е р ш и н а м и . А DAB,, A ABC, A BCD и A CDА называются у г л а м и четырехугольника.
Сам четырехугольник обозначается символом \^\ABCD. Его углы можно для краткости обозначать А. А, A B , А С и A D.
Левый четырехугольник на рисунке сверху называется в ы п у к лым, а правый — нет. Чтобы понять, в чем состоит различие между этими четырехугольниками, проведем прямые, содержащие стороны каждого из них. Следующее определение описывает это свойство выпуклости.
Определение
Плоский четырехугольник называется в ы п у к л ы м , если ни какие две из его вершин не лежат по разные стороны от какойлибо прямой, содержащей сторону этого четырехугольника.
Левый четырехугольник на последнем рисунке удовлетворяет этому условию, а правый — нет. (Почему? Что вам нужно заметить, чтобы удостовериться, что четырехугольник не я в л я е т с я вы пуклым?)
О
Определения |
|
|
Две стороны |
четырехугольника |
называются п р о т и в о п о |
л о жн ыми , если |
они не пересекаются. Два его угла называются |
п р о т и в о п о л о ж н ы м и , если их |
пересечение не содержит ни |
какой его стороны. Две стороны четырехугольника называются сме жными, если они имеют общий конец. Два его угла назы ваются с о с е д н и м и , если их пересечение содержит какую-либо сторону четырехугольника. Д и а г о н а л ь ю четырехугольника на зывается отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Так, в 0 ABCD следующие пары сторон и углов являются противоположными: ÄB и CD, ВС и AD, Д А и Д С, Д В и Д D. А вот несколько пар смежных сторон и соседних углов: AB
и ВС, ВС и CD,_J_ D и_Д А, Д А и Д В. Диагоналями 0 ABCD
служат отрезки АС и BD.
Определение
Т р а п е ц и е й называется четырехугольник, имеющий две па раллельные стороны.
Заметим, что это определение не и с к л ю ч а е т возможности, что обе пары противоположных сторон будут параллельными. Если это случится, то мы получим параллелограмм.
Определение
П а р а л л е л о г р а м м о м называется четырехугольник, у ко торого обе пары противоположных сторон параллельны.
Следующие теоремы доказываются непосредственно.
Теорема 9.14
Каждая диагональ разбивает параллелограмм на два конгру энтных треугольника.
Другими словами, если 0 ABCD — параллелограмм, то Д АВС =
^ A C D A .
Теорема 9.15
У параллелограмма любые две противоположные стороны кон груэнтны.
Следствие 9.15.1
Если две прямые параллельны, то все точки каждой из них равноудалены от другой.
Как |
мы помним из § 7 гл. 7, расстояние от точки до прямой |
есть длина перпендикуляра, |
опущенного из этой точки на данную |
прямую. |
Следствие |
9.15.1 |
|
иногда |
|
|
коротко |
формулируют |
так: |
«расстоя |
|
I' |
ние |
между параллельными |
прямыми |
+ ' |
есть |
величина |
постоянная». |
В этой |
h |
Jn |
формулировке |
используется |
|
следую |
щее |
|
|
|
|
|
|
|
Li U-. |
Определение |
|
|
|
|
|
|
Р а с с т о я н и е между |
двумя параллельными |
прямыми есть |
расстояние от |
любой |
точки |
одной из |
этих прямых до другой. |
Теорема 9.16
У параллелограмма любые два противоположные угла конгру энтны.
Теорема 9.17
У параллелограмма любые два соседние угла пополнительны.
Теорема 9.18
Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Если дано, что Q А BCD —параллелограмм, то предыдущие теоремы позволяют установить различные его свойства. Теперь рас смотрим обратную задачу: что нам нужно знать о \^]ABCD, чтобы установить, что он является параллелограммом?
Теорема 9.19
Если обе пары противоположных сторон четырехугольника кон груэнтны, то этот четырехугольник —параллелограмм.
Теорема 9.20
Если две стороны четырехугольника параллельны и конгру энтны, то этот четырехугольник —параллелограмм.
Теорема 9.21
Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Ни сама следующая теорема, ни ее доказательство не являются очевидными. Мы приведем это доказательство полностью.
Теорема 9.22
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей его стороне и имеет вдвое меньшую длину.
В
Др ' у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
Дан ДЛДС. Если D и Е — |
середины сторон AB |
и ВС, то DE \\ АС и DE — ^ |
АС. |
Д о к а з а т е л ь с т |
в о . Пусть |
F —точка луча, |
противополож |
ного лучу ED, для которой EF = DE. Теперь мы имеем ситуацию, описываемую пометками на нашем рисунке. В нижеследующем доказательстве мы пользуемся обозначениями, заимствованными из этого рисунка.
1.E F = D E.
2.Е В = Е С .
3. |
L |
x = |
L y . |
4. |
A E F C ^ A E D B . |
5. |
/ |
у ^ |
/ w. |
6.ÂB\\CF.
7.D B = FC .
8.AD — D B .
9.AD = FC .
10.[JA D F C — параллелограмм.
11.D È IIÄC.
12.D E = Y D F.
13.D E = ^ A C .
Определение точки F. Определение середины.
Теорема о вертикальных углах.
CYC .
Соответствующие углы. В Н П (теорема 9.5).
Соответствующие стороны. Определение середины. Шаги 7 и 8.
Теорема 9.20.
Определение параллелограмма.
Ш аг 1.
Шаг 12 и теорема 9.15.
Задачи к § 5
1.Мера одного угла параллелограмма равна 45. Чему равны меры остальных его углов?
2. Д ва соседних |
угла параллелограмма имеют соответственно |
меры лг + |
30 и |
2х — 60. |
Найдите меру каждого угла параллелограмма. |
|
|
3. □ ABCD |
и □ |
A K R S |
на левом рисунке являются параллелограммами. |
Как |
связаны |
/. D |
и /. R ? |
L R и / С? Докажите, что ваш ответ |
правилен. |
4. □ A K M J |
и □ |
K B M J на правом |
рисунке являются параллелограммами. |
Покажите, |
что |
если K .J — K M , то |
Д А В С — равнобедренный треугольник. |
б.Даны параллелограмм и одна его диа гональ. Докажите, что если отрезки, проведенные из противоположных вер шин до диагонали, перпендикулярны диа гонали, то они параллельны и кон груэнтны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
В |
|
6. □ |
PQ RS — параллелограмм, |
|
|
|
|
|
|
|
|
P W = P S и R U = R Q . ‘ |
|
|
|
|
|
|
Докажите, |
что |
□ |
SW QU — параллело |
|
|
|
|
грамм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Даны |
равнобедренный |
треугольник |
и точка Р |
на его |
основании, отличная |
|
от вершины. Докажите, что если через точку Р провести параллель, к каж |
|
дой из конгруэнтных сторон, то |
|
|
|
|
|
|
|
1®. получится |
параллелограмм; |
|
|
|
|
|
|
|
2°. периметр |
этого |
параллелограмма |
будет |
равен сумме длин |
конгру |
|
|
|
энтных сторон треугольника. |
|
|
|
|
|
8. Верно ли следующее утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
Т рапеция |
является |
параллелограммом, |
в том и |
т олько в том |
случае, |
|
если |
ее диагонали делят друг друга пополам. |
|
|
|
|
|
Объясните. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
9. |
□ |
A BC D |
и Q |
B E F C в |
этой плоской фи |
|
|
|
|
|
гуре |
являются |
параллелограммами. |
Д о |
|
|
|
|
|
кажите, что □ |
A EFD — параллелограмм. |
|
|
|
|
10. Точки Л и В соответственно являются
серединами |
сторон PQ и RQ А |
P Q R . |
Чему равны |
A B и т А A B R , |
если |
R P — 16, т А Р = 58 и т А Q = 38?
