Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

от диагонали АС-

13. Диагонали АС и BD параллелограм­ ма □ А BCD пересекаются в точке М. Докажите, что, если точки X и Y принадлежат противоположным сторо­

нам параллелограмма и отрезок X Y содержит точку М, то эта точка делит

отрезок X Y пополам.

А

17.Трапеция, имеющая хотя бы одну пару конгруэнтных противоположных сторон, называется равнобедренной трапецией. Докажите, что каждый па­ раллелограмм является равнобедренной трапецией. Верно ли обратное?

18.Доказать. Если два соседних угла трапеции конгруэнтны, но не пополни­

тельны, то эта трапеция — равнобедренная.

§ 6. РОМБ, ПРЯМОУГОЛЬНИК И КВАДРАТ

Определения <

Ро мбо м называется параллелограмм, все стороны которого конгруэнтны.

275

П р я м о у г о л ь н и к о м называется параллелограмм, все углы которого прямые.

К в а д р а т о м называется прямоугольник, все стороны кото­ рого конгруэнтны.

Доказательства следующих теорем мы предоставляем вам.

Теорема 9.23

Если параллелограмм имеет один прямой угол, то он имеет четыре прямых угла и является прямоугольником.

Теорема 9 .2 4

Диагонали ромба перпендикулярны, друг другу.

( Ук а з а н и е . См. следствие 6.2.1.)

Теорема 9 .2 5

c)Ромб является квадратом.

d)Прямоугольник является квадратом.

e)Квадрат является прямоугольником.

f)Квадрат является ромбом.

g)Диагонали ромба делят друг друга пополам.

i)Диагонали прямоугольника перпендикулярны друг другу.

j)Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то этот четырех­ угольник есть ромб.

2.Доказать. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.

3.Доказать. Диагонали ромба делят его углы пополам.

2 7 6

с

c)Соседние углы конгруэнтны.

d)Диагонали делят пополам углы данного четырехугольника.

e)Диагонали перпендикулярны.

{) Противоположные углы конгруэнтны,

g)Диагонали конгруэнтны и перпендикулярны.

7.Достаточны ли следующие условия для доказательства, что данный четырех­ угольник является параллелограммом? прямоугольником? ромбом? квадра­

том? Каждую из этих возможностей нужно рассмотреть отдельно. a) Он имеет две пары параллельных сторон.

B ) Три его угла являются прямыми.

c)Он является равносторонним.

d)Его диагонали конгруэнтны и перпендикулярны.

e)Каждые два его соседних угла пополнительны.

f)Две его стороны параллельны.

g)Его диагонали делят друг друга пополам.

h)Его диагонали конгруэнтны, перпендикулярны и делят друг друга по­ полам.

пересекает сторону В С в точке G, а биссектриса A B — сторону AD в точке Н . Докажите, что □ A BG H является ромбом.

277

11*. Четырехугольник, одна и только одна диагональ которого является медиатрисой другой диагонали, будем называть р о м б о и д о м . Докажите, что ром­ боид имеет две пары конгруэнтных сторон, но что противоположные его стороны не обязательно конгруэнтны.

12*+. Сторона ÄD выпуклого □ ABCD является наименьшей, а сторона В С —

наибольшей. Докажите, что /. /. В .

(Указание. Проведите диагональ.) Будет ли эта теорема верна, если не требовать, чтобы □ ABCD был выпуклым?

§ 7. НЕСКОЛЬКО ТЕОРЕМ О ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Наше знание четырехугольников дает нам некоторую информа­ цию о прямоугольных треугольниках.

Теорема 9.26

Длина медианы, проведен­ ной к гипотенузе прямоуголь­ ного треугольника, вдвое мень­ ше длины его гипотенузы.

ником. (Как найти такую точку?) По теореме 8.18 диагонали AB

и CD делят друг друга пополам в некоторой точке М. Следова­ тельно, СМ есть медиана, проведенная к гипотенузе /\А В С и

С М = ^ CD. Но CD = AB. (Почему?) Таким образом, СМ —^ А В ,

что и требовалось доказать.

Следующая теорема кое-что говорит нам о форме некоторых треугольников.

Теорема 9.27 (теорема о треугольниках 30-60-90)

В

'Если мера одного из острых углов прямоугольного треуголь­ ника равна 30, то длина про­ тивоположного этому углу ка­ тета вдвое меньше длины гипо­ тенузы.

278

угольнике 30-60-90 гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета». Верна и обратная

В

Теорема, 9.28

Если длина одного из кате­ тов прямоугольного треугольни­ ка вдвое меньше длины гипоте­ нузы, то мера угла, противо­ лежащего этому катету, равна

30.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Дан Д АВС с прямым углом при вер­

шине С и, дано, что ВС = -*ЛВ. Пусть М —середина гипоте­

ны CD равна 5. Чему равна AB?

279