2. |
На левом рисунке RQ = 2 R P . Тогда т X R==? |
|
|
3. |
На правом рисунке АС X A B , AD X ВС . Найдите D B , |
если В С = 1 2 . |
4. |
Высота GM равностороннего треугольника G H K имеет длину 9. |
Из точки М |
|
на две другие стороны опущены перпендикуляры. Докажите, что эти два |
|
отрезка конгруэнтны, и найдите их длину. |
|
|
5. |
Докажите теорему, обратную теореме 9.26. |
|
|
|
Если |
длина медианы какого-либо т реугольника вдвое |
меньш е |
длины сто |
|
роны, к |
кот орой эта м едиана проведена, т о этот т реугольник является |
прямоугольным, |
а данная |
ст орон а— его гипотенузой. |
Дано. Д А ВС, |
м едиана |
AD, |
AD = |
ВС. |
Требуется |
доказать. |
Д А ВС — прямо |
угольный т реугольник и |
В С — его |
гипотенуза. |
(Указание. Докажите, что *-{-(/= 90.)
В
6. Точка F на этом рисунке является серединой отрезка А Е, а х A B E , L АСЕ и х AD E —пря мые углы. Докажите, что точка F равноудале на от точек А, В, С , D и Е .
7. Д PQR —равнобедренный треугольник, причем |
P R = Q R = a. Докажите, |
что если I — любая прямая, проходящая через R , |
но не содержащая ни Р, |
ни Q, а X и Y — две точки прямой I, находящиеся на расстоянии а от R ,
то Х Р X УД и XQ X YQ.8
8.В любом прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на два отрезка. Докажите, что в треугольнике 30-60-90 длины этих отрезков относятся как 1:3.
9. |
Дан равносторонний Д А В С . |
На луче, противоположном лучу BÄ; взята |
|
такая точка D, что BD — AC. Докажите, что т L BCD = 30. |
|
|
А |
10. |
На этом рисунке А А В С —равносто |
|
ронний треугольник, AD J Е |
и точки |
|
Р и Q— соответственно середины сто |
рон А С и AB. Докажите, чтоД PDQ — равносторонний треугольник.
§ 8. СЕКУЩИЕ КО МНОГИМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПРЯМЫМ
Определения |
|
|
Если секущая t |
пересекает прямые Іх и 12 в точках А |
и В, то |
мы будем говорить, |
что прямые Іх и /2 выс е кают на |
t о тр е |
зок AB. |
|
|
Допустим теперь, что нам даны |
три |
прямые |
Іх, /2 и 13 и се |
кущая t, пересекающая их в точках |
А, |
В и С. |
Если АВ = ВС, |
то мы будем говорить, что прямые |
Іи |
12 и 1%высекаю т на t |
к о н г р у э н т н ы е о т р е з к и . |
|
|
|
Мы покажем, что если три параллельные прямые высекают конгруэнтные отрезки на какой-нибудь одной секущей, то они вы секают конгруэнтные отрезки и на любой другой секущей. Нашим первым шагом явится доказательство следующей теоремы:
Теорема 9.29
Если три параллельные прямые высекают конгруэнтные отрезки на какой-нибудь одной секущей t, то они высекают конгруэнтные отрезки и на всякой секущей t', параллельной t.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим сначала, что □ AGED и □ GHFE являются параллелограммами. (Почему?) Нам дано, что AG —GH. По теореме 9.15 AG = DE и GH = EF. Следовательно, DE = EF.
Теперь мы можем доказать теорему в общем случае.
Теорема 9.30
Если три параллельные прямые высекают конгруэнтные от резки на какой-нибудь одной секущей, то они высекают конгру энтные отрезки и на любой другой секущей.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Іъ /2 и /3 —три параллельные прямые, a tx и t2 —две секущие. В указанных на рисунке обозна чениях нам дано, что АВ = ВС, и мы хотим доказать, что DE = EF. Мы уже знаем, что это имеет место, если tx || t2. Поэтому предпо ложим, что прямые tx и t2 не п а р а л л е л ь н ы .
Пусть ^ — прямая, параллельная t2 и проходящая через А, а t&— прямая, параллельная t%и проходящая через В. (Вспомните теорему 9.11.)
|
|
Утверждения |
1. |
A B — ВС . |
2. |
Z * ^ |
L y . |
3. |
Z. V ~ |
А w. |
4.Д A B G g ^ A B C J .
5.AG — B J .
6. B J — GH.
7. AG — GH.
8. DE = EF.
Аргументы
Дано. Теорема 9.9. Теорема 9.9.
У С У .
Соответствующие стороны.
Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.
Шаги 5 и 6. Теорема 9.29.
То же самое заключение справедливо и для любого числа па раллельных прямых.
Следствие 9.30.1
Если три или более параллельных прямых отсекают конгру энтные отрезки от какой-нибудь одной секущей, то они отсе кают конгруэнтные отрезки и от любой другой секущей.
Иными словами, дано, что
А1А2= A%Aa — AgAi — ..• •
Отсюда следует, что
• В ] 5 а — В 2 В 3 — В з В ^ — . .
и т. д. Это получается, если несколько раз применить только что доказанную теорему.
Задачи к |
§ 8 |
|
|
|
1. Д а н о ^ |
А В = |
В С , |
I F II BQ ИCR, |
P X I ) QY (I R Z . |
|
|
|
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
X Y = |
= YZ . |
|
|
|
|
Для того |
чтобы доказательство |
было |
|
|
|
|
<—> |
справедливо, должны ли прямые АС
<- ■>
иX Z быть компланарными?
2.Докажите следующую теорему:
|
|
Если |
прямая |
делит |
пополам |
одну ст орону |
т реугольника |
и параллельна |
|
|
второй ст ороне, |
т о |
он а |
делит пополам т рет ью его ст орону. |
3. |
На |
этом |
рисунке |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
D È \\A B , |
E F \\A C |
|
|
|
|
|
|
|
и D — середина отрезка АС. |
Докажи |
|
|
те, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д CD E |
|
Д E F B . |
|
|
|
|
|
|
4, |
Если одна секущая пересекает |
|
парал |
|
|
|
лельные прямые Іх и /2 в точках D и А , |
|
|
|
а |
другая — в |
|
точках |
С |
и |
В , |
то |
|
|
|
□ |
A BC D . является |
трапецией. |
Если |
|
|
|
известно, |
что |
/3 ||Іъ |
то почему |
прямая |
|
|
|
13 |
параллельна |
|
также |
и |
|
Почему |
|
|
|
если прямая |
/3 |
|
содержит середину Е |
|
|
|
отрезка |
AD , |
то она содержит и сере |
|
|
|
дину F отрезка |
ВС7 Содержит ли пря |
|
|
|
мая /3 и весь |
отрезок E F1 |
Почему? |
|
|
|
Отрезок |
E F |
называется |
средней |
линией трапеции A BCD , |
а параллельные |
|
стороны |
Ä B |
и CD — основаниями |
этой трапеции. |
|
|
a) Докажите, |
что средняя линия тра |
|
|
|
|
пеции делит |
пополам обе ее диаго |
|
|
|
|
нали. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ) |
Докажите, |
что |
длина средней |
ли |
|
|
|
|
нии |
трапеции |
равна |
полусумме |
|
|
|
|
длин ее оснований, т. е. что |
|
|
|
|
|
|
E F = |
^ -(A B + CD). |
|
|
|
|
|
|
|
( У к а з а н и е . |
Проведите одну |
|
диагональ и воспользуйтесь |
теоремой 9.22.) |
5. |
□ |
ABCD — трапеция, |
у |
|
которой |
|
|
|
AB\\CD, |
ER — средняя |
линия |
|
этой |
|
|
|
трапеции (см. задачу 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
Если |
А В = 12 |
и D C — 7, то E F = ? |
|
|
|
B ) |
Если |
A B — 14 |
и DC — 14, то E F = ? |
|
|
|
c) |
Если |
DC = |
6 |
|
и E F — 14, |
то |
А В — 7 |
|
В |
|
d) |
Если |
А В = 21 и E F = |
18, то DC — 1 |
А |
