Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

6.Докажите, что два отрезка, соединяющие две противоположные вершины паралле­ лограмма с серединами двух противопо­ ложных сторон делят диагональ паралле­

8+. Докажите, что если в задаче 6 диагонали D B и АС пересекаются в точке

Е, то E S = ~ АС.

9*+. Параллельные прямые на этом рисунке

делят отрезок АС на семь конгруэнтных отрезков. Если дано, что A B = 2 и ВС =

Окружность Земли по экватору равна приблизительно 40000 км. В пятнадцатом веке считалось, что она намного меньше. Поэтому когда Колумб отправился в Индию и пристал к одному из Багам­ ских островов, он думал, что уже находится в Индии. Таким об­ разом, его ошибка превосходила ширину Соединенных Штатов плюс ширину Тихого океана.

Однако в третьем веке до нашей эры греки знали эту величину лучше. В то время греческий математик Эратосфен измерил ок­

285

летнего солнцестояния Эратосфен измерил в Александрии угол, обозначенный на рисунке буквой а, т. е. угол между вертикаль­ ным столбом и лучом, исходящим из вершины этого столба и про­

ходящим через конец его тени. Он нашел, что этот угол прибли­ зительно равен 7° 12', или 1/50 всей окружности.

Лучи Солнца, наблюдаемые на Земле, почти параллельны. Если считать, что они действительно параллельны, то внутренние

расстояние от Ассуана до Александрии должно приблизительно равняться 1/50 окружности Земли.

Было известно, что расстояние от Ассуана до Александрии составляет приблизительно 5000 греческих стадий. (Стадия —еди- ница расстояния в древней Греции.) Исходя из этого, Эратосфен пришел к заключению, что окружность Земли должна быть равна 250 000 стадий. Переводя их в километры в соответствии с тем, что говорят нам античные источники о длине стадии, мы полу­

на еще более точную — 252 000 стадий; однако никто, по-видимому,

тематике ведущую роль. Египтянам она была чрезвычайно нужна, потому что ежегодные разливы Пила смывали маленькие межевые

286

j)Две прямые или параллельны или пересекаются.

k)Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных пря­ мых, то она пересекает и другую.

c)Острые углы прямоугольного треугольника являются —

d)Длина гипотенузы треугольника 30-60-90 равна 13; катет противопо­

4 . Достаточны ли следующие условия для доказательства, что данный четы­ рехугольник является трапецией? параллелограммом? прямоугольником? ромбом? квадратом? (Каждую из этих возможностей нужно рассмотреть отдельно.)

a) Все четыре его стороны конгруэнтны. B ) Две его стороны параллельны.

c)Две его стороны конгруэнтны.

d)Его диагонали делят друг друга пополам.

e)Его диагонали конгруэнтны и делят друг друга пополам.

f) Он является равноугольным.

gЕго) диагонали конгруэнтны и перпендикулярны.

h)Он является равносторонним и равноугольным.

i)Каждые два его противоположных угла конгруэнтны.

j)Каждая диагональ делит пополам два его угла.5

5.Какие из следующих утверждений верны во всех случаях? верны в неко­ торых случаях? не верны ни в одном случае?

a)Прямолинейные отрезки, лежащие в одной плоскости и не пересекаю­ щиеся, параллельны.

B) Если даны две прямые и секущая, то биссектрисы двух внутренних накрест лежащих углов параллельны.

c)Диагонали ромба делят друг друга пополам.

d)Диагонали четырехугольника параллельны.

e)Противоположные углы параллелограмма пополнительны.

f)Квадрат является прямоугольником.

g )Если диагональ четырехугольника образует с его сторонами два кон­ груэнтных тр еу го л ьн и к то этот четырехугольник является параллело­ граммом.

288

h)Если длина медианы какой-либо стороны треугольника вдвое меньше

□A B C D — параллелограмм.

5.Докажите, что если биссектрисы двух соседних углов параллелограмма пересекаются, то они перпендикулярны.

8.Определите на этом рисунке меру каж­ дого угла.

9.Докажите, что если на плоскости какая-ли­ бо прямая перпендикулярна одной из двух пересекающихся прямых, то она не пер­ пендикулярна другой.