Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

х = —2,

—* = —( —2) = 2,

X — —3,

—х = — ( —3) = 3 и т. д.

Мы можем теперь дать второе определение j х |:

1°.

Если

х ^ О ,

то

I лг 1= лс.

2°.

Если

х < 0 ,

то

j j c | = —X.

Это второе определение труднее для

понимания, чем

первое,

но с ним в дальнейшем будет легче работать. Проверьте

его на

нескольких числах, пока не убедитесь,

что оно и в самом деле

дает именно то, что требовалось.

а) 5 I ;

b) I — 6 ! ;

c)

d)

2

|+

( — 2) ;

e)i 2 | + j

— 2 j ;

f)

| 8 - 5 |

g)

5 — 8 I ;

h) j 5 I — I 8 I ;

i ) | - 8 - 5 | ?

2. Какие из следующих утверждений верны:

а)

I — 3 I = ! 3 I;

b) I 3 = — 3;

-

с) I 7 — 9 I = | 9 — 7 I ;

d) |0 - 4 |= | 4 - 0 |;

е)

\ k \ - k

для

каждого

действительного числа

k l

3. Какие из следующих равенств верны для всех

значений

переменных:

а)

— п I =

— п ;

b)

I п2 |=

п2 ;

с) х — 3 I = I 3 — х |;

d) I а — Ь\ — \Ь — а \\

е)

d + l | =

|d| +

l ?

4. Дополните следующие утверждения:

a)

Если

k >

0,

то

[ k j =

___

b)

Если

k <

0,

то

I k j =

___

c)

Если

k =

0,

то

\k\ = ___

5. Ha

следующих

четырех рисунках

графически изображены на числовой пря­

мой четыре

алгебраических

соотношения,

записанных

слева

от рисунка.

X <2

- з

- 2

- 1

0

1

— ♦ — — I---------

2

3

\х\=2

- 3

—2

-1

0

1

2

3

\ х \<2

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

|х |> 2

*

■ ■

— О - — I— — !— — Ь -— О - .... и

- 3

-

2 -

1

0

1

2

3

Аналогично этому изобразите графически следующие соотношения:

а)

х =

1

b)

X — отрицательное

число;

с) X>

d)

х ^ г О ;

е) , х ;= 1;

I) И *

§)

I X і 3> 1,

h)

, X I ^ 0.

6 .

а)

Чем

графическое

изображение соотношения х < 0

отличается

от

графи­

ческого

изображения соотношения х sg О?

B )

Чем

графическое изображение соотношения |х |=

1 отличается от графи­

ческого

изображения соотношения | x | sg ;l?

c)

Чем

графическое

изображение

соотношения— l s g j t s g l

отличается от

графического изображения

соотношения j лс |с

1 ?

7 * .

Если

мы

рассмотрим алгебраические соотношения

с

двумя

переменными

х и

у,

где х и

у принимают

действительные

значения,

то

их

мы

сможем

изобразить на (координатной) (х, у)-плоскости. Вам придется

только

вспом­

нить, что графическое изображение соотношения

между х

и у — это мно­

жество всех упорядоченных пар (х , у) (т. е. всех точек плоскости с коорди­

натами

X и у

I),

удовлетворяющих

нашему

алгебраическому

соотношению.

Т ак,

соотношение

х — у = 1

изображено слева, а

условие

х — у ^ І

справа

на следующем

рисунке.

a)

Графически

изобразитесоотношение

у = \ х \ .

B )

Графически

изобразитесоотношение

у >

\х\.

8 * . Пользуясь задачей 7, как введением к

этой задаче,

a)

Графически

изобразитесоотношение

|х

I - j - 1у |=

1;

B )

Графически

изобразитесоотношение |х

|+

1у \<

1.

Р

Q

1

I

: )

I

I

I

I- -

-f - - -

- -1- - - - - -

-1- - - --

- -- 1-- --

- --1- - -- - - - - - - - - - -

- - - - -

1

2

3

4

5

6

7

8

Э

10

11 12

р

Q

I

— Т

1— — I—

''

f

-Г

1

5

6

7

Т

1

12

1

2

3

4

8

9

10

11

-

1-

- п -

1---

-- Г - - -- 1- -

- і--

!- --

1- - -

- - 1-

- - 1- -

- - -

1- -

- -

- -

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f

£

Z

i

------------

1--------------

*-------------

'---------------

1---------------

d

0

этих единицах. Оно равно 70 лш; 7 см\

0,07 лг, 2

3

11

дюйма; ^ фута;

1.

Расстояние

от

точки

Н до точки

К ,

измеренное

в сантиметрах равно 12.

Чему будет равно число, измеряющее это расстояние, если за единицу длины

принять миллиметр?

2.

Расстояние

от

К

до

М , измеренное в миллиметрах, равно 9. Чему равно

число, измеряющее

в

сантиметрах

расстояние от К

до М ?

Р

0

R

Т

Единица измерения

PQ

PR

РТ

QT г

Дюйм

2

1

Ф ут

4

1

1

Ярд

18

9

Сантиметр

5,08

Миллиметр

50,8

Метр

0,0762

Ладонь

0,364

Пядь

0,54

b)

Чему равно отношение PQ к Р Ю

PQ

к РТ ?

c)

Изменяется ли отношение PQ к

Р Т

при переходе от одной единицы

длины к другой?

в)

Допустим,

что

мы

в

состоянии установить одну универсальную еди­

ницу для измерения длин. Какие

преимущества это бы нам дало? Какие

недостатки

это бы

имело?

5.

В

каждом

из

следующих

равенств

вставьте

в

пропуски

соответствующие

числа:

a)

6 дюймов =

...ф ута

=

... ярда;

*

B )

...

дюймов

= 7

1

футов =

-2

... ярдов;

c)

... дюймов

=

... футов =

ярда.

6.

В

каждом

из следующих

равенств

вставьте

в

пропуски

соответствующие

числа:

a)

2м — ...

см =

...

мм;

B )

... м — 50

см —

... мм;

c)

... м —

... см = 1

мм.

7.

А,

В

и С — три точки

на

прямой, расположенные, как показано на ри­

сунке.

Чему равно

АС, если

A

B

С

а)

AB — 6

см и

ВС =

12 см;

в) A B — 6 м и В С = 12 м;

с)

A B — 6

км и

В С — 12

км?

8.

А,

В

и С — три точки

на

прямой, расположенные в том же порядке, что

и в задаче 7. Чему равно АС,

если

a)

A B — 6 м

и

ВС — 12

см;

b)

A B — 6 см

и ВС — 12

м;

c)

A B = 6

км

и

В С =

12

см?

чается одно

и то же

число, хотя единицы измерения разные, а в задаче 8

все ответы

различны?

С точки

зрения

логики любая единица длины не менее при­

зоваться

именно этой

единицей. (Если хотите, можете считать, что

выбрана

та единица,

которая вам больше

всего

нравится. Если,

например, вам нравятся сантиметры, или

метры,

или километры,

то вы

можете думать, что именно этими

единицами мы и поль­

зуемся.

Все последующие теоремы остаются верными при л ю б о м

выборе

единицы длины.)

каждой

паре точек Р и

Итак,

раз мы уже выбрали единицу,