11. L К — прямой угол в Д М Р К и т L Р =
= 30. |
Найдите MQ, |
если К И _1 М Р, |
H R 1 |
М Л , Щ і.~ М Р |
и М Р = 80. |
12.Докажите, что если обе непараллельные стороны трапеции конгруэнтны одной из параллельных сторон, то диагонали этой трапеции делят пополам углы при другой параллельной стороне.
13.При отражении луча света от гладкой поверхности угол, образованный поверхностью и падающим лучом, конгруэнтен углу, образованному поверх-
|
|
|
|
|
|
|
ностью и отраженным |
лучом. На |
рисун |
ке т Z. А ВС = 90, т L |
BCD = 75 |
и |
луч |
света |
образует с RA |
угол |
35®. |
Скопи |
руйте |
этот рисунок |
и |
дополните |
путь |
светового луча после |
того, |
как |
он |
от |
разится от A B , от ВС , от DC и снова от
A B . Под каким углом он отразится от
/40 во второй раз?
14. |
Докажите, что следующее утверждение |
верно, или же, что оно неверно. |
|
Если |
какой-либо |
четырехугольник |
имеет две параллельны е стороны |
и |
две |
конгруэнт ные стороны, |
то это — параллелограм м . |
15. |
На |
этом |
рисунке |
ED || ВС , |
E D = B C |
ги |
точки Р , Q и R |
являются |
серединами |
соответствующих |
отрезков. |
Докажите, |
что отрезок P R делится пополам |
отрез- |
ком QD. ( У к а з а н и е . |
Проведите |
отрез |
ки PQ и Е В .) |
|
|
|
|
|
16*. Докажите, что следующее утверждение верно, или |
же, |
что оно неверно. |
Если |
диагонали четырехугольника конгруэнт ны |
и |
перпендикулярны, |
то этот |
четырехугольник является квадрат ом . |
|
|
17*. Докажите, что следующее утверждение верно, или же, что оно неверно.
Если диагонали четырехугольника конгруэнтны и делят друг друга пополам, т о этот четырехугольник является прямоугольником.
18*. На этом рисунке |
АС J_ А Е биссектрисы |
/. DC В и 2 Е В С |
пересекаются в точке |
Р . Найдите т L Р |
и объясните свое рас |
суждение. |
|
19*. Докажите, |
что если каждая |
диагональ |
четырехугольника |
делит пополам |
два его угла, то этот четырехугольник является ромбом. |
|
20*. Диагонали |
□ |
A BCD |
пересекаются |
в |
|
|
|
точке |
М и перпендикулярны, а Р , Q, R |
|
|
|
и S — середины |
сторон. |
Докажите, |
что |
|
|
|
удвоенная сумма MP-^-MQ-\-M R-\-MS |
|
|
|
равна |
периметру |
□ |
A BCD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
21*. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, |
опущенных |
из любой точки |
основания |
равнобедренного |
треугольника |
на |
его конгруэнтные стороны, |
равна |
высоте, |
опущенной |
на любую |
из |
|
|
U |
конгруэнтных |
сторон. |
( У к а з а н и е . |
|
|
|
Пусть |
прямая, |
параллельная |
стороне |
|
|
|
АС и |
проходящая |
через точку |
Р , пере |
|
|
|
секает |
В Т |
в |
точке |
Q. |
Покажите, |
что |
|
|
|
RP + P S = |
B T .) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22*. Пусть Д MPQ — равнобедренный треугольник, причем M P — MQ. Через
любую |
точку |
А, лежащую между М и Q, |
проведем |
прямую, перпендику- |
|
__ |
и пересекающую |
__ |
<■> |
точке С. Докажите( |
лярную PQ |
PQ в точке В |
и РМ в |
что д |
MCA — равнобедренный |
треугольник. |
|
|
2 3 *. В произвольном |
Д |
А В С |
проведем через вершину А прямую, перпенди |
кулярную |
биссектрисе |
Z. В |
в |
точке |
К ■ Через |
К |
проведем прямую, парал |
лельную |
ВС и пересекающую |
A B |
в точке |
М . |
Докажите, |
что точка |
М |
является |
серединой |
стороны |
A B . Можете ли |
вы, |
кроме того, |
доказать, |
что |
прямая М К делит пополам сторону ЛС?
|
|
|
А |
|
В |
|
|
|
|
2 4 *. Д Л В С — любой |
треугольник, |
а G |
и Н — середины |
сторон |
ЛС и ВС . На |
луче, |
противоположном лучу |
Н А , |
возьмем |
точку |
R |
так, |
что HR = HA, |
точно так же на луче, противоположном лучу |
G B, |
возьмем |
точку |
5 , для |
которой GS — GB. |
Докажите, |
что |
точки R , |
С и |
5 |
коллинеарны |
и |
CR = |
C S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЯХ
Определение
Две плоскости или плоскость и прямая называются п а р а л лельны м и, если они не пересекаются.
Если плоскости Ег и £ 2 параллельны, то мы пишем ЕД Е2. Если прямая / и плоскость Е параллельны, то мы пишем 1\\Е или Е ||/.
Как мы увидим, параллельные прямые и плоскости в про странстве ведут себя во многих отношениях так же, как параллель ные прямые на плоскости. Однако имеются и важные различия. Одно из различий между прямыми и плоскостями состоит в том, что такой вещи, как скрещивающиеся плоскости не существует: каждые две плоскости в пространстве или пересекаются, или па раллельны. Из того, что две прямые лежат в параллельных пло скостях, не следует, что эти прямые параллельны (см. левый ри сунок). Если две прямые параллельны, то всегда можно найти две непараллельные плоскости, их содержащие (см. правый рисунок).
Следующая теорема описывает обычную ситуацию, встречаю щуюся, когда параллельные плоскости и параллельные прямые входят в одну фигуру.
Теорема 10.1
Если какая-либо плоскость пе ресекает две параллельные плоско сти, то она пересекает их по двум параллельным прямым.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дана пло скость Е, пересекающая две па раллельные плоскости Ех и Е2. В силу аксиомы 8 (стр. 66) имеем:
