Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 364

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1°. Плоскости Е и Ег пересекаются по некоторой прямой 1{.

2°. Плоскости Е и Ег пересекаются по некоторой прямой /2. Очевидно,

3°. Прямые Іу и /2 компланарны (так как обе они лежат в Е).

4°. /х и /2 не имеют общих то­ чек (поскольку 'общих точек не имеют плоскости Е1и Д2).

Утверждения 3° и 4° означают,

что

5°. Іі\\12, а это нам и требова­ лось доказать.

Теорема 10.2

Если какая-либо прямая перпендикулярна одной из двух парал­ лельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Нам дано, что^ЦВ^ и/ Еѵ Пусть Л — произвольная точка, принадлежащая Д2, но не принадлежащая I.

Тогда

1°. / и А принадлежат некото­ рой плоскости Е. (Почему?)

2°. Плоскость Е пересекает плоскости Ег и Е2 по некоторым прямым.

3°. Іг \\12 (по теореме 10. 1).

4°. / _і_ Іх (так как I _1_ Et).

5°. I _L k (по теореме 9. 12).

Таким образом, мы нашли в плоскости Е2 прямую, перпенди­ кулярную прямой /. Взяв другую точку В и повторив для нее это рассуждение, мы найдем в плоскости Д2 другую прямую, перпендикуляную прямой I. В силу теоремы 8.2 мы тогда получим, что 1±_ЕѴ

Следующая теорема аналогична теореме 9.2.

Теорема 10.3

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

296

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нам дано,

что Ех±_1 в точке Р и Е2_L /

в точке Q.

Мы хотим

доказать,

что fl Е2. Если это не так, то

пересечение

плоскостей

Ех и Е2 содержит хотя

бы одну точку R.

Очевидно, что RP J

<■>

 

потому/ что,

прямая / перпен­

/ _ и RQ _

|

дикулярна каждой прямой, проходящей в плоскости Е1 через точку Р, а также каждой прямой, проходящей в плоскости Е2 через точку Q. Тем самым мы нашли два перпендикуляра к прямой /, проведенные из точки R, что невозможно (см. теорему 6.4.) Следо­ вательно, плоскости Ег и Е2 параллельны.

Следствие 10.3.1

Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей плоско­ сти, то эти две плоскости параллельны.

(Вы должны разобрать доказательство без рисунка. Попытайтесь!) Д о к а з а т е л ь с т в о . Дано, что ЕХ\Е3 и Е2\\Е3. Пусть I —

какая-нибудь прямая, перпендикулярная плоскости Е3. Тогда 1°. / _1_ Еі (по теореме 10.2).

2°. l _LE2 (по теореме 10.2).

3°. Ех\\Е2 (по теореме 10.3).

Теорема

10.4

 

 

 

 

 

 

Две

прямые, перпендикуляр­

 

 

 

 

ные одной и той же плоскости,

 

 

 

 

параллельны.

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дано,

что

lxJ_E

в точке

А и 12А_Е

в точке

В.

По теореме 8.7 прямые /х

и /2

компланарны.

Так

как

/х Д. Е, то

1Х± А В .

‘Так

как 12±_Е, то

12±. АВ.

По теореме

9.2 /х||/г.

 

 

 

 

 

2 9 7

Следствие ІО.4.1

Плоскость, перпендикулярная од­ ной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дано, что

[|/а и R±_E. Пусть /3 —пря­

мая,

проходящая через произвольную точку А прямой 12 и перпен­

дикулярная плоскости Е;

она

существует в силу теоремы 8.9.

То­

гда

по теореме 10.4 /х || /3.

На

основании аксиомы

параллельности

/3 =

/2, т.е. 13 и /2 —это одна

и та же

прямая. Так

как 13±_Е,

то

и 12± Е .

 

 

 

 

 

Следствие 10 .4 .2

Если каждая из двух прямых параллельна третьей прямой, то

эти две прямые параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дано, что R 113 и /21|/3. Мы хотим пока­

зать, что

R И/2.

плоскость, перпендикулярная прямой /3.

Пусть

Е — какая-либо

По предыдущему следствию 1ХА_Е и 12А_Е. По теореме 10.4 Іг\12.

Теорема 10.5

Параллельные плоскости во всех точках равноудалены друг от друга.

Д р у г а я формулировка . Если Ді||Д2, то все точки плоско­

сти Ег равноудалены от плоскости Е2.

Е есть

Напомним,

что расстояние от точки Р до плоскости

длина перпендикулярного отрезка, проведенного из Р к Е.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Р и Q — любые две точки

плоско­

сти Ег и PR

и QS — перпендикулярные отрезки, проведенные из

точек Р и Q к плоскости Е2. Тогда

1°. PRIQS (по теореме 10.4).

2°. Точки Р, Q, R и S компланарны, так как они принадлежат двум параллельным прямым.

298

3°. PQ\\RS (по теореме 10.1).

и 3°).

4°. □ PQRS — параллелограм (это следует из 1°, 2°

5°. PR —QS, потому что противоположные стороны

параллело­

грамма конгруэнтны.

 

Из теоремы 10.2 мы знаем, что отрезки, проведенные из точек плоскости Ег перпендикулярно плоскости Е2, в точности совпа­

дают

с

отрезками,

проведенными

из точек Е2 перпендикулярно

плоскости Ег.

Таким

образом, мы знаем больше, чем сказано во

второй формулировке нашей теоремы, а именно следующее:

Если

две

плоскости

параллельны, то все перпендикулярные

отрезки,

проведенные

из точек одной из этих плоскостей к дру­

гой,

имеют одну

и

ту же длину. Далее мы будем считать, что

теорема

10.5 выражает именно этот факт.

Заметим, что в действительности □ PQSR является прямоуголь­

ником. Но в доказательстве это нам не потребовалось.

Задачи к § 1

 

 

 

 

 

 

 

1. Д а н о .

Плоскости

Е

и F параллельны;

плоскость Е содержит прямую A B ;

пло­

скость F содержит

прямую

CD;

А С

1

F

и

BD J. F.

 

 

 

 

 

 

 

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь .

Отрезки

AD и

В С делят друг

друга пополам.

 

2.Что можно сказать о плоскостях К и М, если плоскость М перпендикулярна пря­ мой I в точке Т , а плоскость К перпен­ дикулярна прямой I в точке Р? Чем вы можете обосновать ваш вывод?

3. Докажите, что следующее утверждение верно, или же, что оно неверно.

Е с л и

Е

и

F — п а р а л л е л ь н ы е

п л о с к о с т и и Е с о д е р ж и т п р я м у ю Іх, а F

с о д е р ж и т

п р я м у ю Іг, т о Іг ||

12.4

 

 

4. Плоскость

G содержит точки

А ,

В

и С ,

а плоскость

Н

содержит точки

D,

Е и

F, причем

AD J. G, ÄD 1 Н

и AB—DF-

Какие из следующих утверждений должны быть верны:

299

L К А В
L EDC.

\

а)

AF = BD; b)

В С || E F^ с)

Д

А В С ^

Д DFE;

d)

G II Н; ___е)

АС ± AD; f)

L

A FD ^

Z. D BA ;

g) отрезки AF и BD делят друг друга пополам;

h)

ЛС II W n

 

 

 

Е

 

 

 

 

 

5.□ ABCD, □ ADEK и □ В С Е К на этом

рисунке являются параллелограммами.

Докажите, что

a) T R I! ЛЯ ИВС; b) =

6. Дана плоскость М,

параллельная плоскости К ■ Точки А и С

лежат в пло­

скости М,

а точки

ß и D — в плоскости К\ при этом AD 1

Я и В С j_ М-

Докажите,

что A B — CD.

 

7. Докажите следующее утверждение:

Если две параллельные прямые пересекаются двумя параллельными пло­ скостями, то эти плоскости отсекают от данных прямых конгруэнтные отрезки.

8. На этом рисунке скрещивающиеся пря­ мые /j и /2 пересекаются параллельными

плоскостями Е, F и G и отрезок AR пе­ ресекает плоскость F в точке R . Дока­ жите, что если A B — ВС, то PQ — QR.

9. В условиях задачи

8 докажите также, что

B Q < ± ( A P + CR).

 

10. На этом рисунке

плоскости

М и N пе-

 

<1■>•

пересекают

ресекаются по прямой A B и

параллельные плоскости Е и F

по прямым

AD, ВС, А Н и BG.

Докажите, что если

ЛЯ = ВС и A H ^ B G , то

 

L D A H ^

z CBG.

 

11. Укажите, верно или нет каждое из следующих утверждений; если данное утверждение верно, то сделайте маленький рисунок, его иллюстрирующий, а если оно неверно, то приведите рисунок, иллюстрирующий контрпример.

a) Если какая-либо

прямая лежит в данной плоскости,

то любая

прямая,

параллельная

этой прямой, параллельна и данной плоскости.

 

B ) Если

прямая

и

плоскость параллельны, то всякая

прямая,

лежащая

в этой

плоскости,

параллельна данной прямой. '

 

 

300

Смотрите также файлы