c)Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, могут быть пер пендикулярны друг другу.
d)Если две прямые параллельны, то каждая плоскость, содержащая только одну из них, параллельна другой.
e)Если какая-либо плоскость пересекается двумя параллельными плоско
стями, то прямые, являющиеся линиями их пересечения, параллельны. f) Если какая-либо плоскость пересекается двумя параллельными плоско
стями, то прямые, являющиеся линиями их пересечения, могут оказаться параллельными.
12. Покажите, как найти плоскость, содержащую одну из двух данных скре щивающихся прямых и параллельную другой. Докажите, что ваше построе ние правильно.
13*. Дано . Отрезки Р М |
и PS |
лежат в |
плоскости Е . Точки Р , М |
и 5 |
не колли- |
неарны. KM J. PM, QS J_ PS и К М || QS. |
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . KM J . Е и |
QS 1 Е . |
|
|
( Ук а з а н и е . Проведите еще |
одну па |
раллельную прямую.) |
|
|
14*. F и Е — параллельные плоскости. Точ ки А , В и С лежат в плоскости Е , а точ
ка Р — в плоскости F, причем PA ±F. Точки R, Т и V являются соответствен
но серединами отрезков Р Ъ , Р А |
и PC. |
Докажите, что плоскость RTV |
парал |
лельна плоскости F. |
|
15*+. Докажите следующую теорему:
С у щ е с т в у е т о д н а и
ма я , п е р п е н д и к у л я р н а я
да н н ы х с к р е щ и в а ю щ и х с я
т о л ь к о о д н а п р я
к а ж д о й |
и з д в у х |
п р я м ы х . |
|
( У к а з а н и е . На рисунке показано, как найти общий перпендикуляр. Пун ктирные прямые и отрезки изображают вспомогательные множества.)
§ 2. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ . ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Мы знаем, что если две прямые на плоскости пересекаются, — они образуют четыре угла:
Рассмотрим теперь две плоскости в пространстве, пересека ющиеся по некоторой прямой, как на рисунке слева.
Они образуют четыре фигуры, каждая из которых выглядит, как фигура на рисунке справа. Такая фигура называется двугран
ным углом, а изображенная на этом рисунке прямая PQ— ребром двугранного угла.
Определение
Если две полуплоскости имеют одно и то же ребро, но не лежат в одной плоскости, то объединение этих двух полуплоско
|
|
|
|
|
|
|
|
стей и |
их |
общего ребра |
называется д в у г р а н н ы м |
у гл о м . |
Прямая, |
являющаяся общим ребром полуплоскостей, называется |
р е б р о м |
двугранного угла. |
Объединение ребра |
и любой |
из двух |
данных |
полуплоскостей |
называется с т о р о н о й |
или г р а н ь ю |
двугранного угла. |
|
|
|
|
Чтобы |
задать конкретный двугранный угол, нужно |
сказать, |
какая |
прямая служит |
его ребром и каковы его грани. |
Обычно |
это делают, |
обозначив |
какие-либо две точки Р и Q на |
ребре и |
по одной точке А и В на каждой из граней (см. рисунок выше). Двугранный угол с выбранными указанным образом четырьмя точками мы будем обозначать символом /_ А — PQ —В.
Можно говорить о внутренности и внешности двугранного угла и о вертикальных двугранных углах. Вводятся эти понятия совершенно аналогично соответствующим понятиям для углов на плоскости, и вы сумеете дать точные определения сами.
Хотелось бы сказать, что вертикальные двугранные углы кон груэнтны. Но сначала нужно объяснить, что понимается под мерой двугранного угла. Мы сделаем это немножко ниже, а пока введем
следующее |
понятие: |
Определение |
|
Пусть |
даны двугранный угол и какая-либо плоскость, перпен |
дикулярная |
его ребру. Пересечение этой плоскости с двугранным |
углом называется п л о с к и м у г л о м данного двугранного угла.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пометки |
на рисунке |
указывают, |
|
что /_ PYC и /_ PYD — прямые углы. |
|
Это значит, что плоскость, содержа |
|
щая |
L CYD, |
перпендикулярна |
пря |
|
мой PQ в точке У. Согласно только |
|
что данному |
определению |
это |
озна |
|
чает, |
что 2 |
CYD действительно |
яв |
|
ляется |
плоским углом |
двугранного |
|
угла |
Z, А —PQ— В. |
|
опреде |
|
Кажется |
естественным |
|
лить |
|
меру |
двугранного |
угла |
|
/_ А — PQ — В как меру угла /_ CYD. |
|
Но это |
едва |
ли имело бы |
смысл, |
если бы различные |
плоские |
углы одного двугранного |
угла |
могли иметь разные меры, |
Поэтому |
нам нужно доказать следующую теорему: |
|
Теорема 10.6
Все плоские углы одного и того же двугранного угла кон груэнтны.
с
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Даны два |
плоских угла (с вершинами У |
и Z) двугранного |
/. А — PQ —В. На сторонах этих плоских углов |
возьмем |
точки С, |
D, F |
и G так, |
что YC = ZF и YD = ZG, как |
указано на правом рисунке. Теперь мы имеем: |
|
1°. □ YCFZ является параллелограммом. |
(Стороны УС и FZ |
конгруэнтны. Они |
и параллельны, |
так как |
лежат в одной пло |
скости |
и |
перпендикулярны одной |
и той же прямой; см. тео |
рему 9.20.) |
же получаем: |
|
|
|
Точно так |
|
|
|
2°. □ YDGZ является параллелограммом. Следовательно,
3°. DG\\CF. (Оба эти отрезка параллельны отрезку YZ.)
4°. DG = CF (так как DG=YZ=*CF).
5°. □ DGFC — параллелограмм (поскольку его стороны DG и CF конгруэнтны и параллельны).
6°. |
DC— CF. (Почему?) |
7°. |
A C Y D ^ A F Z G (в силу ССС). |
8°. |
L C Y D ^ É LFZG. |
Разумеется, п. 8° —именно |
то, что |
и требовалось доказать. |
Мы можем теперь дать следующие определения: |
Определения |
|
|
М е р о й двугранного угла |
называется |
действительное число, |
равное мере каждого его плоского угла. Двугранный угол назы
вается п р я м ы м , если его плоские углы —прямые. |
Две плоскости |
называются п е р п е н д и к у л я р н ы м и , если они |
образуют пря |
мой двугранный угол. |
|
Следующие теоремы легко доказать на основании определений. |
Теорема 10.7
Если какая-либо прямая перпендикулярна данной плоскости, то и каждая плоскость, содержащая эту прямую, перпендикулярна
данной плоскости. |
|
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
Пусть I—прямая, перпенди |
кулярная плоскости Е в точке А, |
и F —любая плоскость, содер |
жащая прямую I. Тогда FJ_E. |
|
|
|
|
|
|
( У к а з а н и е |
д л я д о к а з а т е л ь с т в а . |
Пусть |
PQ — прямая, |
по которой пересекаются плоскости Е и F. Возьмем в плоскости Е |
прямую AB, перпендикулярную PQ. Теперь |
нужно вспомнить, |
как определяется перпендикулярность / и |
Е |
и перпендикуляр |
ность F и ff, |
и показать, что плоскости |
F u E |
действительно |
перпендикулярны.)
Теорема 10.8
Если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая, лежа щая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
Можно воспользоваться тем же рисунком, что и для предыду
щей теоремы. Пусть I —данная прямая, перпендикулярная прямой PQ
в точке А; возьмем, |
как |
и раньше, |
прямую AB, перпендикуляр |
ную PQ. |
На этот |
раз |
дано, что |
Е _[_F, а требуется доказать, |
что I ± .Е . |
|
|
|
|
Задачи к |
§ 2 |
|
|
|
1. Назовите все двугранные углы на левом |
рисунке. |
2. |
Назовите двугранные углы на правом рисунке. (Их больше, чем три. Заме |
|
тим, что буквой Е обозначена плоскость, а не точка.) |
|
3. |
Назовите шесть двугранных углов в этом |
А |
|
|
тетраэдре. |
|
4. |
Докажите следующую теорему: |
|
|
В е р т и к а л ь н ы е д в у г р а н н ы е у г л ы к о н г р у |
|
э н т н ы .
5.Докажите следующую теорему:
|
|
|
|
|
Е с л и |
д в е |
п а р а л л е л ь н ы е |
п л о с к о с т и |
п е р е с е ч е н ы т р е т ь е й п л о с к о с т ь ю , т о |
в н у т |
р е н н и е н а к р е с т л е ж а щ и е д в у г р а н н ы е у г л ы к о н г р у э н т н ы .
(Указание. Проведите еще одну пло скость.)
