Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

6. На этом рисунке А М \ \ В К

и

В К _]_ Е.

Точка

D является

серединой

отрезка

Ш и

AC = AD.

Найдите меру каждого угла на этом

рисунке.

7. Если на рисунке к задаче

2

точки Т и R лежатв медиатрисе-плоскости

отрезка М К , точка

S является серединой отрезка М К и m A R S T — ПО,

то чему равна мера Z T — M K — R ? Чему равна сумма

m Z T - M K — R + m Z R — M K — P ?

8. Каждый из отрезков А Р , В Р

и

С Р пер­

А

пендикулярен двум

другим,

АС = ВС и

точки D, Е и Р являются серединами

соответствующих отрезков.

Докажите,

что

Z D E F ^

Z Р А В ,

11. Для куба, изображенного на этом ри­

и

а

сунке, найдите:

m Z D H E ,

m L D E H ,

m z HGD,

m Z EGD.

12. Если

А ,

В , С

и D — четыре некомп­

D

ланарные

точки,

никакие три из кото­

рых не

коллинеарны, то объединение

13*. Докажите следующее утверждение:

Е с л и

к а ж д а я

и з

д в у х

п е р е с е с е к а ю -

щ и х с я

п л о с к о с т е й ,

п е р п е н д и к у л я р н а

т р е т ь е й

п л о с к о с т и , т о

и

л и н и я

п е ­

р е с е ч е н и я э т и х д в у х

п л о с к о с т е й

п е р ­

п е н д и к у л я р н а т р е т ь е й

п л о с к о с т и .

( У к а з а н и е .

Проведите

в

плоскости

.£ прямую P A _L Afft

и прямую

QA 1 RS* воспользуйтесь

теоремами

10.8

и 8.2.)

14*+. Докажите следующее утверждение:

Е с л и т р и

п л о с к о с т и Е ъ

Е г и Е 3 п е ­

р е с е к а ю т с я

п о

т р

е

м

п р

я м

ы

м

/12, /23

и

113,

т о

л и б о

э т и

т р

и

п р я м ы е

п р о ­

х о д я т ч е р е з о д н у т о ч к у , л и б о к а ж д а я

и з н и х п а р а л л е л ь н а д в у м д р у г и м .

( У к а з а н и е .

На

рисунке изображены плоскости Е х и £2, пересекающиеся

по прямой

/12. Рассмотрите

для плоскости £ 3 две возможности:

і°. ЯзНі*;

2°. £ 3 пересекает

прямую

(12.)

Конкурсная задача

Теорема Дезарга

Д а н ы

д в а

т р е у г о л ь н и к а ,

л е ж а щ и е

в н е п а р а л л е л ь н ы х п л о с к о с т я х и т а к и е ,

ч т о

п р я м ы е ,

с о е д и н я ю щ и е с о о т в е т с т в у ю щ и е в е р ш и н ы т р е у г о л ь н и к о в ,

п р о х о д я т

ч е р е з

о д н у

т о ч к у .

Е с л и

п р я м ы е , с о д е р ж а щ и е с о о т в е т с т в у ю щ и е с т о р о н ы э т и х

т р е у г о л ь н и к о в ,

п е р е с е к а ю т с я ,

т о

т о ч к и и х п е р е с е ч е н и я к о л л и н е а р н ы .

р а л л е л ь н ы х п л о с к о с т я х

и т а к и е , ч т о п р я м ы е

AÄ , В В ' и С С ' п е р е с е к а ю т с я

в н е к о т о р о й т о ч к е D. Е с л и п р я м ы е AB и А В '

п е р е с е к а ю т с я в т о ч к е X, п р я м ы е

В С и В ' С ' — в т о ч к е

Y и п р я м ы е А С и А С ’ —в т ю ч к е Z, т о т ю ч к и X, Y и Z

к о л л и н е а р н ы .

Определение

П р о е к ц и е й точки на плоскость называется

основание пер­

пендикуляра, опущенного из этой точки на данную

плоскость.

Определение

П р о е к ц и е й прямой на

плоскость называется множество

точек, являющихся проекциями

точек этой прямой.

t

этом

рисунке

точка Р служит проекцией точки

Р, точка

Q

проекцией точки Q,точка 5 —проекцией точки 5 и т. д. Рисунок

наводит на

мысль,

что проекция прямой всегда есть

прямая, и

Очевидно,

F _L Е. Это верно сразу

по двум причинам: каждая

плоскость,

содержащая

< >

перпендикулярна плоскости

прямую РР',

Е, и это же справедливо для каждой

плоскости, содержащей пря­

мую QQ (теорема 10.7).

Мы докажем два утверждения:

1°. Если R — точка прямой /, то ее проекция R' принадлежит /'.

2°.

Если

Т — точка

прямой /', то

Т является проекцией неко­

торой точки

прямой /.

1°. Пусть Т —основание перпендикуляра,

Д о к а з а т е л ь с т в о

опущенного из точки R на Г в плоскости F. По теореме 10.8 RT _\_

_]_ Е.

Ввиду

единственности перпендикуляра отсюда следует, что

Т — Rr. Поэтому точка R'

принадлежит Г.

Д о к а з а т е л ь с т в о

2°. Пусть

Г —точка прямой Г и пусть

TW — перпендикуляр к

прямой /' в точке Т, проведенный в плос­

кости F. По теореме 10.8

TW А_Е. Следовательно, прямые TW и

/ не параллельны. (Почему?) Пусть

R — точка, в которой прямая

TW пересекает I. Тогда Т = R'.

Мы показали, что каждая точка проекции прямой I принадле­

жит прямой Г и что

каждая точка прямой /' принадлежит этой

проекции.

Следовательно,

I’ и проекция —это одно и то же мно­

жество точек. Таким образом,

проекция есть прямая, что и требо­

валось доказать.

го

множества точек.

Определение

Е с л и А — п р о и з в о л ь н о е м н о ж е с т в о

т о ч е к в п р о с т р а н с т в е и Е — п л о с к о с т ь ,

т о

п р о е к ц и е й м н о ж е с т в а

А

н а п л о с к о с т ь Е

н а з ы в а е т с я м н о ж е ­

с т в о

в с е х т о ч е к , я в л я ю щ и х с я п р о е к ц и я м и т о ч е к м н о ж е с т в а

А н а п л о с к о с т ь Е .