проекция треугольника обычно является треугольником, хотя иногда она может оказаться и отрезком.
Вторая возможность осуществляется в том случае, когда плоскость тре угольника, как на рисунке справа, перпендикулярна плоскости Е.
Задачи к § 3
1, На этом рисунке плоскости F и Е пер пендикулярны и пересекаются по прямой
A B . Точка С лежит в плоскости F и
CD 1 A B . Какова проекция на плоскость
£ отрезка Л С? отрезка В С ? Д Л ВС ?
2.Если одна диагональ ромба перпендику лярна некоторой плоскости в одном из своих концов, то какова проекция ромба на эту плоскость?
3.На этом рисунке плоскости Е и F пере
секаются по прямой PQ |
. Отрезок A B |
ле |
жит в плоскости |
F и |
его |
длина |
вдвое |
больше длины его |
проекции |
ВС. Прямая |
PQ перпендикулярна плоскости ЛВС . Найдите т £ А — PQ — C.4
4. Р , Q, R и S — проекции точек А , B , C n D
на |
плоскость Е . Почему если точки В, С |
делят |
отрезок AD |
на три равные части, |
то |
и |
точки |
Q, R должны делить отрезок |
P S |
на три |
равные |
части. |
5. Приготовьтесь обосновать свои ответы на следующие вопросы: a) Всегда ли проекция точки является точкой?
B ) Всегда ли проекция отрезка является отрезком?
c)Может ли проекция угла быть лучом? прямой? отрезком? углом?
d)Может ли проекция острого угла быть тупым углом?
e) Всегда ли проекция прямого угла является прямым углом?
f)Может ли проекция отрезка быть длиннее самого отрезка? короче самого отрезка?
6. Ответьте, как и в задаче 5, на следующие вопросы:
a)Могут ли две параллельные прямые оказаться проекцией двух пересе кающихся прямых?
B ) Могут ли две параллельные прямые оказаться проекцией двух скрещи вающихся прямых?
c)Могут ли две пересекающиеся прямые оказаться проекцией двух скре щивающихся прямых?
d)Всегда ли проекцией двух параллельных прямых являются две парал лельные прямые?
7.Одна грань острого двугранного угла содержит квадрат. Какого рода фи гурой будет проекция этого квадрата на другую грань?
8. Даны |
две |
параллельные |
плоскости |
Е и F . |
Д Л В С |
лежит в плоскости F. |
Докажите, |
что |
проекция |
As А В С на |
плоскость Е есть треугольник, конгру |
энтный |
Д .4 В С . |
|
|
9+ . На левом рисунке изображен тетраэдр, а на правом— проекция этого тетраэдра на плоскость BCD . Нарисуйте его проекции на плоскости Л ВС
и ACD.
!0 + . Дано, что диагональ |
куба перпендикулярна |
некоторой плоскости. Нари |
суйте проекцию на эту |
плоскость всех ребер |
куба. |
11*. Точка М является серединой отрезка |
г |
|
A B , |
лежащего |
в плоскости Е . Точ |
|
ка |
С |
не принадлежит плоскости Е , |
|
а |
ее |
проекция |
D принадлежит ме- |
|
диатрисе "отрезка A B в плоскости Е. Докажите, что Д А В С — равнобедрен ный треугольник.
12+. В технических чертежах вид сверху (или «план») какого-либо тела можно рассматривать как проекцию различных отрезков этого тела на горизон тальную плоскость, расположенную над телом (см. левый рисунок). Вид
сверху, как он был бы вычерчен фактически, |
показан |
справа. (Здесь не |
было сделано ни малейшей попытки сохранить |
истинный |
масштаб.) |
a) Начертите вид спереди этого тела, т. е. начертите проекцию отрезков этого тела на плоскость, параллельную передней грани.
B ) Начертите вид справа этого тела.
13*. Д а н о . Л уч R S |
лежит в плоско |
сти Е . |
|
L P R S — прямой |
угол. |
Q — проекция точки Р .
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . L Q R S —
— прямой.
( У к а з а н и е . Проведите луч R T , пер пендикулярный плоскости Е в точ ке R .)
14+. Д а н о . Л уч AQ является проекцией
луча ~ÄR на плоскость Е .
Л Л — некоторый другой |
луч из |
точки |
А в плоскости Е . |
|
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
|
т L Q.AR < т L P A R . |
__^ |
|
( У к а з а н и е . |
На |
луче А Р возьми |
те точку К , |
для |
которой A K = |
AR'. |
Проведите отрезки |
K R ' |
и K R -) |
|
Вопросы и задачи для повторения
С
1. Назовите все двугранные углы на этом рисунке, считая, что никакие два из изображенных на нем треугольника не компланарны.
2. Д а н о. Е J_ А С, F 1 А С |
, F 1 B D ^ |
_______ |
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
Е J_ BD и А С | BD . |
3. Дан рисунок (наверху справа) с пометками. А А В С лежит в плоскости F,
|
а Д PQR — в плоскости Е . □ |
А BQP — прямоугольник и A P _L Е, |
Какие из |
|
следующих |
утверждений |
верны? |
|
|
|
|
а) B Q 1 E ; |
|
b) AQ = B P ; |
_ с) F | Е ; |
|
|
|
d) PQ есть проекция отрезка |
A B |
на Е ; |
__ |
|
|
e) А |
А В С ^ А |
PQR-, |
f) |
P C = QC\ |
g )B C \ \ R Q ’i |
|
|
h) Д Р А С ^ Д R B C . |
|
|
|
|
|
4. |
Укажите буквами В, И |
к Н, |
будет ли каждое из следующих утверждений |
- |
верно |
во |
всех |
случаях |
(т. |
е. |
всегда, |
В), верно в некоторых случаях |
|
(т. е. |
иногда, И) или неверно |
ни |
в одном |
случае (т. е. никогда, |
Н). |
a)Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они пер пендикулярны.
B ) Если' какая-либо плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей являются скрещивающимися.
c)Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они парал лельны.
d)Пересечение какой угодно плоскости с гранями двугранного угла есть плоский угол этого двугранного угла.
e)Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
f)Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они парал лельны.
g)Если какая-либо прямая перпендикулярна плоскости, то и каждая пло скость, содержащая эту прямую, перпендикулярна этой плоскости.
h)Проекция угла может оказаться точкой.
i) Если каждая из двух прямых перпендикулярна одной и той же прямой, то эти две прямые параллельны.
j)Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то и линия их перечисления перпендикулярна третьей плоскости.5
5. Прямая Ä B |
служит ребром двугранного |
L S — А В — Т, точка |
Р принадлежит от |
резку A B . |
Является |
ли L S — A B — T |
прямым двугранным углом, если m i . S P T =
=90? Объясните.
6. |
Плоскости |
Е и |
F |
пересекаются по |
|
|
<і"■>■ |
|
|
---» |
__„ |
лежат |
|
|
прямой КМ. Лучи |
А В |
и PQ |
|
|
в плоскости Е , а |
лучи |
АС |
и |
Р $ — |
|
|
— в плоскости/7. Является ли Z ВАС |
|
|
плоским углом |
двугранного |
|
L В — |
|
|
- К М — С, |
если |
т z |
МА В —90 и |
|
|
m Z КАС — 90? |
Будет |
ли |
PQ || ÄB, |
|
|
если т z R P Q = 90? |
|
|
|
|
7. |
На этом рисунке PQ = ~ |
PC = |
- і- Р Л , |
Р |
|
АВ = ВС и PQ 1 |
Р . |
|
|
|
|
|
Какое из следующих соотношений спра |
|
|
ведливо? |
|
|
|
|
|
|
|
|
т L P — A C — Q < 30; |
|
|
|
|
т L Р — А С — Q = |
30; |
|
|
|
|
m Z Р — Л С — Q > |
30. |
|
|
|
8.Д а н о . Параллельные плоскости Е, F
иG, точка Q, которая принадлежит
плоскости G; А /СРЛ1, который при надлежит плоскости Р ; Д Л РС , кото рый принадлежит плоскости Е , при этом AK — KQ.
Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . Периметр
ДАВС вдвое больше периметра Д КМР.
9*. Параллелограмм А BCD на этом ри |
О |
сунке |
не параллелен |
плоскости Е. |
|
Точки |
К, L, М и N являются проек |
|
циями на плоскость Е его вершин Л, |
|
В, С и D. Докажите, что |
|
AK + C M =B L + DN. |
|
( У к а з а н и е . Пусть |
Q — проекция |
|
точки Р на плоскость Е. Проведите |
|
отрезок |
PQ.) |
|
|
10*+ . Сделайте рисунок, изображающий пересечение некоторой плоскости со всеми шестью гранями куба. Затем мысленно представьте себе проекцию этого пересечения на плоскость, параллельную первой плоскости, но не пересекающую куб, и нарисуйте то, что получится.
