Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

§ 1. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ

Определение

Т р е у г о л ь н о й о б л а с т ь ю называется объединение тре­ угольника и его внутренности.

Начиная с этого момента, мы не будем на наших рисунках затушевывать область, если ясно, о какой области идет речь.

Определение

М н о г о у г о л ь н о й о б л а с т ь ю называется объединение ко­ нечного числа треугольных областей, расположенных на одной плоскости так, что если две из них пересекаются, то их пересе­ чение есть либо точка, либо отрезок.

Пунктирные линии на приведенных выше рисунках показывают, как можно каждую из двух данных многоугольных областей пред­ ставить в виде такого объединения. Вот еще несколько примеров:

3 U

В двух последних примерах в областях имеются «дырки». Определение это допускает, и наши две фигуры являются вполне «хорошими» многоугольными областями.

Заштрихованная область, изображенная ниже, фактически также является многоугольной областью.

Однако этого нельзя доказать, упомянув лишь треугольные области, определяемые треугольниками АВС и DEF. Трудность состоит в том, что пересечение этих двух треугольных областей — не точка и не отрезок, как должно быть согласно определению. Это пересечение — маленькая ромбовидная область в центре ри­ сунка.

С другой стороны, эту область легко разбить иначе, так что станет видно, что она является многоугольной

Если какую-либо фигуру можно разбить на треугольные обла­ сти, то это можно сделать многими способами. Например, парал­ лелограмм вместе с его внутренностью можно разбить во всяком случае тремя способами, показанными ниже.

320

Однако легко видеть, что существует еще бесконечно много способов разбиения параллелограмма на треугольники, удовлетво­ ряющего нашим условиям.

В этой главе мы будем изучать площади многоугольных обла­ стей и научимся их вычислять. Для этой цели мы введем четыре новые аксиомы.

Аксиома 19 (аксиома площади)

Каждой многоугольной области соответствует некоторое опре­ деленное положительное число.

Определение

П л о щ а д ь ю многоугольной области называется число, которое

Аксиома 20 (аксиома конгруэнтности)

Если два треугольника конгруэнтны, то определяемые ими треугольные области имеют одну и ту же площадь.

Если мы разобьем область на две части, то площадь области должна быть равна сумме площадей этих двух частей.

Л 1 Я' Ѵ

На каждом из этих рисунков вся область R, «дырявая» на пра­ вом рисунке, является объединением двух областей Rx и /?а. В каждом случае области Rx и R% пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. При этих условиях площадь SR области R мы можем найти с помощью сложения.1

нением двух других, но написанное выше равенство не выпол­

Напомним, что в гл. 2 оговаривалась возможность произволь­ ного выбора единицы длины. Это же верно и для единицы пло­ щади. Но при выборе наших единиц нужно быть последователь­ ным: если расстояния мы измеряем в сантиметрах, то площади следует измерять в квадратных сантиметрах; если же мы поль­ зуемся метрами, то мы должны пользоваться и квадратными мет­ рами и т. д. Эта идея лежит в основании следующей аксиомы.

Аксиома 22 (аксиома единицы площади)

Площадь квадратной области равна квадрату длины ее стороны.

322