Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 312

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теорема 13.1

Все отрезки, принадлежащие данной (невертикальной) прямой, имеют один и тот же подъем.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если прямая горизонтальна, то это утверждение очевидно, потому что все принадлежащие ей отрезки имеют нулевой подъем. Более содержательные случаи изобра жены на рисунках.

В случае 1 мы имеем

A P ß P ^ A P i R ’P,,

так что

R'P'i	P [R ' ’
R P 2 _	R 'P i’
P1R	P [R ' ‘

Следовательно, отрезки РгР2 и РjPâ имеют один и тот же подъем.

В случае 2 мы также имеем

A P 1RP2r ^ A P ’lR'Pi.

Это дает, как и раньше,

R P 2	R ’P 2
P\R	P [R ' '

Но отсюда сразу следует требуемое утверждение, так как подъемы наших двух отрезков равны этим двум отношениям, в з я т ы м со з н а к о м м и н у с .

После того как мы доказали теорему 13.1, мы можем гово рить не только о подъемах отрезков, но и о подъемах прямых.

409

Определение
П о б ъ е м о м	(или у г л о в ы м к о э ф ф и ц и е н т о м ) неверти
кальной прямой	называется число, равное подъему каждого при

надлежащего этой прямой отрезка.

Так, угловой коэффициент прямой I на этом рисунке равен

1 - 3	_	2
5 - 2	—	3	•
Выбор любого другого отрезка		этой прямой привел бы к тому
же самому ответу.

Задачи к § 4

1.Для каждого из этих рисунков ответьте на следующие вопросы:

a)Какие координаты имеют точки А, В и С?

B ) Чему равно ВС? Чему равно Л В?

c)Чему равен подъем отрезка АС?

2.Нарисуйте систему координат. Изобразите четыре точки А, В, С и D пло скости, имеющие х-координату 3. Изобразите четыре точки Р , Q, R и S плоскости, имеющие «/-координату — 2. Выпишите около каждой точки ее координаты.

410

3. Найдите подъем каждого из отрезков, изображенных на этом рисунке.

4. Какие из следующих пар

точек

определяют горизонтальные прямые; какие

из них определяют вертикальные прямые:

а)

(5,

( -

3, 7)

Ь)

(2, 4)

(2,

1);

с)

(5, 2) и (— 3, 5)

) (0,

1) и

(4, - 1);

е)

(3,

( -

3, 3)

(4, 7)

( -

6);

(0,

5);

(0, 6) и (3, 0);

і)

(а,

с);

(а,

Ь)

и (с,

Ь)?

5. Найдите подъем прямой, содержащей данную пару точек:

а)

(0, 0) и (8, 4);

Ь)

(10,

и (6,

9);

с)

(2,

(4,

2);

(0,) 3) и(— 2, 3);

е)

( - 2 , 0) и

(0,

6);

(15,6)

и( - 2 , 23).

6. Найдите подъем прямой, содержащей данную пару точек:

а)

( -

(3, -

8);

d)Ь

/ 5

4 \

16\

(63,\ 2 ’49)3)и

И(— \7,

9);2 ’

3) ’

(5 \Г2,

V'3) и

( V 8,

J/T 2 );

(2а,

3Ь)

(— а,

Ь);

(0,

п)

(п ,

0).

Вершинами

треугольника

служат точки

А (— 2, 3),

В (5,

4) и С( 1,

8).

Найдите подъем каждой из его сторон.

Вершинами

параллелограмма

служат

точки

/?(1,

4),

S (3,

2),

Т (4,

и Ѵ (2, 8). Найдите подъем каждой из его сторон.

Определите

подъем каждой стороны четырехугольника с вершинами А (5, 6),

5 ( 1 3 , 6), С (11, 2)

и D ( l ,

2).

Можете

ли

вы

сказать, что

это

за

четырех

угольник?

10.

Четырехугольник

имеет

вершинами точки

(а, Ь),

N (с,

b),

0 ( c + d ,

е)

и Р ( а +

а,

е).

Найдите подъем

каждой

из его

сторон.

11.

Точка С является серединой отрезка AB, А — это точка

(— 3,

— 2),

а В —

точка (2, 8). Какой подъем имеет отрезок

5С ?

12.

Даны

точки

О (— 4, 6),

5 ( 1 ,

1) и 5 ( 4 ,

— 6).

Найдите

подъемные

отрез

ков DE

и EF.

Коллинеарны ли точки D,

и 5 ?

Почему?

411

13. Нарисуйте систему координат и нанесите точку	(2,	0).	Теперь нанесите
еще три точки, .«-координаты которых больше 0	и	меньше 8 и которые
лежат на прямой с подъемом 2, содержащей точку	(2,	0).

14.Прямая, имеющая подъем — 1, содержит точку (— 2, 5). Какую (/-коор динату имеет точка этой прямой с «-координатой 8?

15.Нарисуйте систему координат. Проведите через начало координат прямую,

которая пройдет через точку (93 000 000,	62 000 000). Назовите три точки
этой прямой, «-координаты которых меньше	10.

16*. Нарисуйте систему координат и нанесите точку ( — 3, 1).	Теперь нанесите
еще три точки, «-координаты которых больше 0 и меньше	10 и которые ле

жат на прямой с подъемом — О содержащей точку ( — 3, 1).

§ 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Зная подъемы двух (невертикальных) прямых, можно довольно легко сказать, будут ли эти прямые параллельны.

1 °. Если две (невертикальные) прямые параллельны, то они имеют один и тот же подъем.

Это следует из того, что
				д /у ? /> 2 ~ д я ; т е .
2°. Если . две			различ			У,
ные не вертикальные				пря
мые пересекаются,			то		их
подъемы	р а з лич ны .				как
Если две		прямые,
на нашем	рисунке,			пере		"
секаются	в	точке	Ри		то
их подъемы		равны

Р г ( * 2 , У г ) ^

	1	J—-
	I	Р 2(х 2’ Уз)
і,Уі)	I
	I

I ГІ

т у*~у\ т'	Уз~ Уі.	0	У з ^ У г	X
Хі — Уі	« 2 — «1

412

Так как знаменатели здесь одинаковы, а числители различны, то

т = £ т ' .

Соединяя эти два утверждения, получаем следующую теорему:

ТеоремаД в е	13.2(н е в е р т и к а	л ь н ы е ) п р я м ы е п а р	а л л е л ь н ы в т о м и т о л ь к о
в т о м с л у ч а е , к о г д а		о н и и м е ю т о д и н и	т о т ж е п о д ъ е м .

Допустим теперь, что мы имеем две п е р п е н д и к у л я р н ы е прямые, пересекающиеся в точке Р (причем ни одна из них не вер тикальна).

На одной из этих прямых выше и правее точки Р возьмем точку Q и построим прямоугольный /\P Q R- Затем на другой пря

мой выше и девее	точки Р возьмем такую точку Q', что PQ' =
= PQ, и построим прямоугольный /\Q 'R rP.
Проверьте, что	пометки на	нашем рисунке обоснованны! Они
говорят нам,что	А PRQ = Д Q'R’P .
Следовательно,	А PRQ = Д Q'R’P .
Следовательно,	RQ	R 'P
	RQ	R 'P
	P R	Q 'R ' •

Но угловой коэффициент прямой I равен

т _RQ

P R ’

а угловой коэффициент прямой I'

т =	O 'R '	•
	R 'P

Значит,

т ' = — т ‘

413

Иными словами, подъемы перпендикулярных прямых обратны по ве личине и противоположны по знаку.

Тот же рисунок годится и для обратного рассуждения.

Если дано, что т '— — \/т, то, как и раньше, построим A P R Q . Затем возьмем точку R’, для которой R'P — RQ, и достроим пря моугольный Д Q'R’P с вершиной Q', лежащей на прямой I. Тогда, как и раньше, имеем

A P R Q ^ A Q ’R’P-

Следовательно, /_ 1 и /, 2 дополнительны и В результате этого обсуждения мы приходим к следующей

теореме:

Теорема 13.3

Лее (не вертикальные) прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если их подъемы обратны по величине и противоположны по знаку.

Обе последние теоремы не применимы к тому случаю, когда одна из двух данных прямых в е р т и к а л ь н а . Но для верти кальных прямых все ясно. Если прямая I вертикальна, то параллельными ей будут просто другие вертикальные прямые. А перпендикулярны вертикальной прямой все горизонтальные прямые.