Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 308

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3. Не рисуя точек, определите, какие из четырехугольников с заданными вер­ шинами являются параллелограммами:

 

a)

Л

( - 2 , - 2 ) ,

 

В (4,2),

 

С (9,1),

 

D (3, - 3 ) ;

 

 

 

 

B )

К

( - 5 , - 2 ) ,

 

L ( — 4,2),

М

(4,6),

 

 

(3,1);

 

 

 

 

c)

Р

(5,6),

 

Q ( 7 , - 3 ) ,

 

R ( - 2 , - 1 2 ) ,

S

( - 4 , - 3 ) .

 

 

 

4.

Вершинами треугольника служат точки А (16,0),

В

(9,2)

и С

(0,0).

 

 

a) Какие подъемы имеют его стороны?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B ) Какие подъемы имеют его высоты?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Даны точки Е

( — 4,0),

G (3,5)

и К

(8,

— 2.)

Покажите,

что

произведение

 

подъемов прямых

EG

и G K равно

— 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Докажите, что четырехугольник с вершинами

А ( — 2,2),

В

(2,

— 2), С (4,2) и

 

D (2,4) является

трапецией с взаимно перпендикулярными диагоналями.

7.

Рассмотрим точки

W (0,3),

X (6,4),

Y ( 1 2 , - 3 ) и

Z ( — 2, — 12).

Какие две

 

прямые, определяемые этими точками, перпендикулярны? Докажите, что

 

ваш

ответ правилен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Четыре точки,

взятые

попарно,

определяют шесть

 

отрезков.

Д ля

каждого

 

из указанных множеств из четырех точек определите,

какие

из этих отрез­

 

ков

параллельны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

Л

(2,6),

В

(8,2),

С

(5,9),

О ( 6 , - 1 ) ;

 

 

 

 

 

 

b)

Р

( 0 , - 8 ) ,

Q

( 3 , - 2 ) ,

R

(4,0),

S

(7,6).

 

 

 

 

 

 

 

( П р е д о с т е р е ж е н и е .

Д ва

отрезка,

имеющие

 

один

и тот

же

угловой

коэффициент, могут быть и не параллельны.)

9.Докажите, что треугольник с вершинами # ( — 12,1), К (9,3) и М ( 1 1 , - 1 8 ) является прямоугольным.

10.Покажите, что прямая, проходящая через точки (3п, 0) и (0, 7п), парал­

лельна прямой, проходящей через точки (0,21л) и (9л, 0).

И . Чему равно число

т,

если

прямая, проходящая через точки ( — 8, т) и

(2,1),

параллельна

прямой,

проходящей через точки ( 1 1 , - 1 ) и (7, л і+ 1 ) ?

через

точки (11, — 1)

и (7,

m-f- І)?

12.При каком значении k прямая, содержащая точки (k , 3) и ( — 2,1), будет параллельна прямой, проходящей через точки (5, k) и (1,0)?

13. При каком значении k прямые задачи 12 будут перпендикулярны?

14. Даны

точки

Р ( 1,2),

Q (5, — 6) и

R ( b ,

b). Определите

значение

b так,

чтобы

/. P Q R

был прямым.

 

 

 

 

 

15. Найдите

подъемы шести прямых, определяемых точками

Л ( — 5,4),

В (2,5),

С (7, — 2)

и D ( - 1 , - 3 ) .

Докажите, что □ Л B C D — ромб.

 

16*. Л уч

P Q

образует с осью х угол

в

30°.

Кроме того, Q R _j_ PQ-

Найдите

периметр

й площадь

Д

P Q R , если

Р,

Q

и R — точки Р ( — 4,0), Q (5, З і/З )

иR ( x , 0).

§6 . ФОРМУЛА РАССТОЯНИЙ

Если мы знаем координаты двух точек Рх и Р2, то эти точки вполне определены. Следовательно, определено и расстояние между ними (гл. 2, аксиома расстояния). Теперь мы установим способ, позволяющий в ы ч и с л и т ь расстояние Р ХР2 по координатам (*ь У\) и (хь уі) этих точек.

415

Пусть, как указано на рисунке, основания перпендикуляров, опущенных из точек Р, и Р.2 на оси координат,—это точки М и N 1 , ЛТ> и ІѴ2, далее, Р — точка, в которой пересекаются горизон­ тальная прямая, проходящая через Ри и вертикальная прямая, проходящая через Р.,. Тогда по теореме Пифагора

(ЛЛ)* = (ЛЯ)' + (ЯЛ)*.

Так как противоположные стороны прямоугольника конгруэнтны,

РіР = МіМа. По той же причине и РР2 =

Следовательно,

(Р^гУ = ( М , М ^ + (Ы^,у.

Но из аксиомы линейки мы знаем, что

— I х%—Xi j

и

N — I у.2—yt

Поэтому

{Р\Рз)2—\хі Х\ |2-(- Iу-і—г/, [3.

Так как квадрат числа совпадает с квадратом его абсолютной ве­ личины, это равенство можно переписать так:

(ЛЛ)® = (х9 —Хі)2+ (y-i—y i f .

Теперь уже почти все сделано. Поскольку Л Л 5 * 0 , мы полу­

чаем

ЛЛ= Л(хг—Хі)14- (у.г—у,)2.

Это и есть формула, которую мы хотели вывести. Таким об­ разом, мы доказали следующую теорему:

416

Теорема 13.4 (формула расстояний)

 

 

Расстояние между точками

(хъ г/,) и (xit г/а) равно

 

 

Y { Х і — Х і Т +

І У і — У і Т -

Например, если Рх(3,4) и

Я2( — 2,1), то из этой формулы

следует, что

 

 

 

 

Р\Ръ= Ѵ~(— 2— З)2-f (Г — 4)*—Y

(— 5)а+ (— З)2~

 

 

—Y 25 + 9 = Y 34.

Заметим, что этот резуль­

 

У

тат

мы могли бы «вычитать»

 

 

из рисунка, не пользуясь на­

 

 

шей

формулой.

Поскольку

 

 

а — Ъ и Ь = 3, то

по теореме

 

 

Пифагора имеем

 

 

 

ргр г=, у а* + Ъ* =

—Y 52 4 - з2= ]/зТ .

Однако для того чтобы это увидеть, нам пришлось проделать все то же, что нужно для вывода нашей формулы. Основное достоинство вывода общих формул как раз и состоит в том, что мы проводим некоторое рассуждение лишь один раз, а при­ менять результат можем много раз, всегда, когда это нам по­ надобится, не повторяя каждый раз наше рассуждение снова и снова.

Задачи к § 6

1.

По формуле

расстояний

найдите

расстояние между точками:

 

а)

(0,0)

и

(3,4).

Ь) (0,0) и ( 3 , - 4 ) .

 

 

 

 

с)

(1,2)

и

(6,14).

d) (8,11)

и

(15,35).

 

 

 

 

е)

(3,8)

и ( - 5 , - 7 )

і) ( - 2 , 3 )

и ( - 1 , 4 ) .

 

 

 

 

&) ( 5 , - 1 ) и ( — 3, — 8).

h) ( - 6 , 3 ) и ( 4 , - 2 ) .

 

 

 

2.

Найдите периметр треугольника с

вершинами Л

(5,7), В (1,10) и С( — 3, — 8).

3.

А

P Q R

имеет вершины

Р (8,0),

Q ( — 3,2) и R (10,2).

 

 

а)

Найдите длину каждой его стороны. Ь) Найдите S

д

4 *. А

K L M

имеет вершины К, ( — 5,18), L ( 1 0 , - 2 )

и

М

( - 5 , - 1 0 ) .

 

a)

Найдите

периметр

А K L M .

 

 

 

 

 

 

B )

Найдите S д KLM _

 

 

 

 

 

 

5.

Вершинами

четырехугольника

служат точки

D

(4, — 3), £ (7 ,1 0 ),F ( — 8,2)

 

и

G ( - 1 , - 5 ) . Найдите длину его

диагоналей.

 

 

 

14 Геометрия

417

6.

Докажите,

что треугольник

с вершинами

А (2,3),

В ( — 1, — 1) и С( 3, — 4)

 

является равнобедренным.

 

 

 

7.

Треугольник

имеет

вершины

G (0,7), Н ( 5, — 5) и

/<" (10,7). Найдите длину

 

высоты, проведенной к кратчайшей стороне.

 

8.

Треугольник

имеет вершины

М ( — 6,0), Р (0,6) и G (2, — 2).

 

a)

Найдите

периметр

Д M P Q .

 

 

 

B )

* Найдите длину

высоты,

проведенной

к наибольшей стороне.

c)* Найдите площадь треугольника.

9 *. Найдите

значение

b,

при

котором треугольник с вершинами ( — 6,0), (0,6)

и (b, — b)

является

равносторонним.

 

 

 

 

 

10. Даны точки Л ( — 1,6),

5 ( 1 , 4 ) и С (7 ,— 2).

Найдите

A B

и ВС .

Докажите,

что точка В лежит между А я С.

 

 

 

D (— 4, — 6) и

11. Докажите, что точка £ ( — 1,— 2) не лежит

между

точками

Р (3,1).

вершин

прямоугольного тела (оно

называется

параллелепипедом)

12. Одной из

на

левом

рисунке

является начало координат, а вершины

А,

В

я С лежат

соответственно на

осях х, у

я г. Точка Р' является

проекцией

вершины Р

на

плоскость ху.

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

Найдите ОР'. Ь) Найдите

ОР. с) Найдите

СР' .

 

 

 

 

13*. Д ля правого

рисунка

 

 

 

a)

найдите

AB,

ВС,

АС, D C и AD;

 

 

 

B )

покажите, что A D 2 — (5 — 0)a+ (8 +

4)2-f-(4~f-2)2.

 

 

14+. Найдите расстояние

от начала координат до точки Р (а,

Ь, с).

 

Изменится

ли

полученная формула,

если числа а, b я с

будут отрицатель­

ными? ( У к а з а н и е .

Воспользуйтесь

рисунком к задаче

12.)

 

15*+. Покажите, что расстояние PQ между точками Р (хі, Уі,

гх) и Q (хг,

г2)

определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

P Q = V ( * 2 —Хі? +

0 > 2 —Уі)2+ (г2 —гх)г.

 

16+. Найдите расстояние PQ между точками Р

и Q,

если

 

a)

Р (4, - 1 ,

- 5 )

и

Q(7,

3, 7);

 

 

 

 

 

B )

Р ( 0, 4, 5)

и

<2(— 6,

2,

3);

 

 

 

 

 

c) Р ( 3, 0, 7)

и

Q (— 1,

3,

7);

 

 

 

 

 

<3)

Р (— 3, 4,

— 5)

и

Q (6,

— 8,

3);

 

 

 

 

е) Р ( 1, 2, 3)

и Q(2, 3, 4).

 

 

 

 

 

17+ . Докажите,

что

треугольник

с

вершинами

А (2, 0,

8), В (8, — 4, 6) и

С (—4, —2, 4) является равнобедренным.

 

 

 

18*+. Покажите,

что

Д

А В С — прямоугольный

треугольник,

если

 

 

 

 

Л (2,

4,

1), 5 ( 1 1 ,

— 8, 1) и

С (2,

4, 21).

 

418

19*+ . Фигура A B C D

имеет

вершины

А (3, 2,

5),

ß ( l , 1, 1),

С (4, О, 3)

и D( 6 ,

1,

7).

 

 

a) Покажите, что противоположные сто­

роны конгруэнтны.

 

 

 

 

 

 

 

 

B )

Обязательно

ли

фигура

A B CD

яв­

ляется параллелограммом?

 

 

 

 

 

 

20. В

хорошо

спланированном

 

городе

за­

нумерованы

широкие

улицы

 

(«авеню»),

идущие с севера

на

ю г,

и

более

узкие

улицы («стриты»), идущие с востока на

запад, и притом

так,

что

они

образуют

конгруэнтные кварталы со стороной 500 м

(см. рисунок)1. Если вы сели

в

такси

на

углу 6-й

авеню

и 2-й стрит

и

про­

сите шофера довезти

вас

по

самому

ко­

роткому пути в угол на пересечение 12-й авеню и 10-й стрит, то какое расстояние вы проедете? Будет ли оно кратчайшим расстоянием между двумя данными точ­ ками? Объясните12.

10стрит Эстрит 8 стрит 7стрит 6стрит 5стрит Острит 3 стрит 2 стрит

$

а а

ö s

s §

^

^ ^

^ ^

^ ^

Oj

Q) О)

СЦО)

СЦ^

«С>

«С5о©«О«а «О

сз

ö сз

cs а

<з ta

 

GO

$5

csj

§ 7. ФОРМУЛА СЕРЕДИНЫ. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

Рассмотрим отрезок РгР2, принадлежащий оси х. Пусть Р — середина этого отрезка и пусть наши три точки имеют координаты,

 

Рі

Р

Р2

 

-------------------- 1------------------------

1---------------- -

ч ----------------------

1-----------------------

 

0

Х і

X

хг

X

указанные на рисунке. Будем считать, что х1 < х 2. Тогда довольно легко сообразить, как выразить х через хг и х2. Мы хотим, что­ бы было

РгР = РР2.

Так как

Р1Р = \ х -

■хл и

РР2= I *„ ■• Х | = Х 2 — X,

то наше первое равенство означает, что

х —х1 = х2~ х , или X =

Эта формула годится и в случае, когда х2 < х ѵ (Доказательство? Если мы поменяем местами хх и х2, то не изменится ни задача, ни ее ответ.)

1 Близкую к этой схеме планировку имеет Нью-Йорк (см. «карту» на стр. 394). 2 В связи с содержанием этой задачи см. брошюру: Ю . А. Ш р е й д е р .

Что такое расстояние? М ., Физматгиз, 1963.

14*

419

Смотрите также файлы