После того как мы нашли формулу для середины отрезка, принадлежащего оси х, легко перейти и к общему случаю.
Если точка Р является серединой отрезка РХР2, то точка М является серединой отрезка М ХМ2. (Почему?) Следовательно,
„ _* 1 +
2 '
Точно таким же образом мы получим, что
____ У і + У і
У — 2 *
Все это мы объединим в следующей теореме:
Теорема 13.5 (формула середины)
Даны точки Рх (хх, у х) и Р2 (х2, у 2). Серединой отрезка РХР2 является точка
Р — (х і + х * л НКуЛ
*г ~ \ 2 * 2 )•
Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть |
даны отре |
зок РХР2 оси X и положительное число |
г. Мы хотим найти коор- |
|
Рі |
Р |
Р2 |
>- |
-------- 1------- |
1-— |
---------------------- X |
1------------ |
о |
X, |
Л> |
X |
динату точки Р, делящей отрезок РХР2 в отношении г к 1. Иными словами, требуется, чтобы было
или РхР = г РР 2.
Если ххс х 2, как на нашем рисунке, то это означает, что х — хх==
= г (х2— х), или х-\~гх—хх-\-гх2. Отсюда
_ Х у + П С з
1 + г *
Заметим, |
что при г = |
1 эта формула должна бы давать координату |
середины отрезка. (Ну и как? Дает ли она ее?) |
В |
случае х2< х 1 мы получаем ту же формулу, но выводится |
она немножко иначе. |
(Мы пользуемся тем, что Р1Р — х 1—х и |
РР2—х —х2, и приходим к этому же результату.) |
Как и в случае середины |
отрезка, |
отсюда |
легко |
пе |
рейти |
к |
общему |
случаю. |
Если |
|
|
|
|
мхм
мм , Г,
поскольку Д |
Д |
іУѴ 2а. Поэтому мы получаем |
- |
|
„ Хі + гхг |
и точно так же |
|
1 + г |
|
Уі + 0>2 |
|
|
|
|
1 + г • |
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема 13.6
Если точка Р лежит между точками Рх и Р2 и
|
Р і Р |
г, |
|
Р Р 2 |
|
|
|
то |
|
|
Х і + Г Х 2 У г + г у ъ |
|
1 + г ’ 1 + г |
|
Задачи к § 7 |
|
1. Найдите координаты середины каждого из отрезков на этом рисунке:
2.Пользуясь формулой середины, найдите координаты середины отрезка, соеди няющего следующие точки:
а) |
(6, |
0) |
и |
(10, |
2); |
|
|
|
|
Ь) |
(5, |
7) |
и |
(11, |
17); |
|
|
|
|
с) |
(12, |
3) и |
(3, |
|
3); |
|
|
|
|
d) |
(— 5, |
6) |
и (6, |
— 5); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{) |
,-4ь’ - 3 у |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\4 |
|
|
|
е) |
( 1 / 2 , |
- У |
Т |
) |
и |
{ V 18, |
/ 7 5 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g) |
(а, |
0) |
и |
(0, |
Ь); |
|
|
|
|
h) |
(а, |
Ь) |
и |
(с, |
d). |
|
|
|
|
3. Найдите координаты точки ß , лежащей на |
|
|
|
|
|
|
|
|
отрезке |
АС, |
если |
А — (3, |
15), С = |
(13, |
0) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
отношение А В /В С |
равно |
|
|
2 _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
4; |
|
|
|
|
|
|
|
Ъ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
d) |
3^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Даны |
точки |
|
Р (5, |
2) и |
R (20, |
14). |
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты точки Q, если она лежит между |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р и к и |
если |
отношение PQ/QR |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
1 ; |
|
Ъ) |
2; |
|
|
с) І - ; |
d) |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Какие координаты |
имеют две точки, |
делящие |
отрезок |
с концами |
(2, — 3) и |
(8, 9) |
на |
три конгруэнтные части? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Вершинами |
|
треугольника |
служат |
точки |
Л (5, — 1), |
ß ( l , |
5) |
и С ( — 3, 1). |
Какую длину имеют его медианы? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Четырехугольник имеет вершины |
А (0, |
0), |
В (5, |
1), |
С (7, 4), |
D (2, |
3). |
Пока |
жите, |
что его |
диагонали |
имеют |
общую середину. |
Является |
ли |
он |
парал |
лелограммом? |
Почему? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Даны |
точки |
Р |
(— 3, — 4), М (Ь, — 1) |
и Q (7, Ь). |
Найдите такое значение Ь, |
чтобы точка |
М |
была серединой |
отрезка |
PQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Даны точки G ( — 5, 8), К (2, а) и Н (b, 1). Найдите а и Ь так, чтобы К
была серединой отрезка GH.
10. Прямолинейный отрезок имеет серединой точку М (3, — 5) и одним из своих концов точку А (2, — 4). Какие координаты имеет другой его конец ß?
11. Дан четырехугольник с вершинами Л (3, — 2), ß ( — 3, 4), С( 1, 8) и 0 ( 7 , 4 ) .
Точки W , X, Y и Z являются соответственно серединами отрезков A B, ВС,
CD и DA.
a) Найдите координаты точек W, X, К, Z.
B ) Найдите периметр □ WXY Z .
c) Найдите угловые коэффициенты отрезков W X и YZ.
12. Вершинами □ PQR S являются |
точки Р (2, 1), Q (7, |
4), R (4, 9) и |
S (— 1, 6). |
Докажите, |
что диагонали этого |
четырехугольника |
имеют общую |
середину |
и взаимно |
перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13*. |
Пользуясь |
координатами, |
докажите, что две |
из |
медиан |
треугольника ' |
с |
вершинами |
(от, 0), |
(— от, |
0) |
и (0, 3m) взаимно перпендикулярны. |
14*. Л(— 3, 2) |
и |
5 ( 5 , |
12)— две |
вершины |
Д А В С. |
Прямая, |
проходящая |
через середину |
G стороны A B |
и параллельная стороне А С , |
пересекает сто |
рону |
В С в точке Н (10, 2). Найдите координаты третьей вершины С. |
15+. |
Дан |
рисунок. Определите координаты |
середины |
каждого |
из отрезков АО, |
BÖ, СО, A B , |
В С и АС'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16+. На этом |
рисунке |
P ’Q' есть |
проекция отрезка |
PQ на плоскость хОу, |
P K II P'Q', |
Р'А II оси у , |
AQ' II оси х, точка |
М является серединой отрезка PQ, |
точка М ’ есть проекция |
точки |
М, точка |
Н является серединой отрезка QK, |
а |
В и С — соответственно серединами отрезков АР' |
и AQ'. |
a) |
Почему Р Р ' ||М М ' ||QQ'? |
|
,____ |
B ) |
Почему точка М' |
является серединой |
отрезка P 'Q '? |
c)Найдите координаты точек P ' , Q ', А и К-
d)Найдите координаты точек В, С, Н и М ' .
e)Найдите координаты середины М отрезка PQ.
17+ . Установите общую формулу для координат середины М отрезка, соеди няющего точки Р (хі, уі, Zj) и Q (*2, Уг, z2), опираясь на наблюдения, сделанные вами при решении задачи 16.
18+. Найдите координаты середины отрезка, соединяющего точки
a) (3, |
5, |
0) |
и |
(1, |
1, 8); |
B ) (8, |
5, |
3) |
и |
(0, |
0 , - 5 ) ; . |
c) (— 6, 2, 4) |
и (6, - 2 , - 4 ) ; |
d) ( З У Х 2 у Т б , - 5 ѴТ) и ( - К 2Г 0, ^ 2 7 ) .
19* t. Найдите координаты |
двух точек, делящих |
отрезок PQ задачи 16 на три |
конгруэнтные части. |
|
|
2 0*+ . В |
условиях |
задачи |
16 найдите периметры |
Д В М М ' и AAQQ'. Верно ли, |
что |
Д В М М ' ~ |
Д AQQ'? |
|
§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ
В этом параграфе мы увидим, как можно использовать коорди наты для доказательства геометрических теорем. Главная цель параграфа состоит в том, чтобы проиллюстрировать один момент доказательства теорем. Этот метод будет легче понять, если наши первые примеры будут простыми. По этой причине вначале мы применим его к нескольким уже известным нам теоремам.
С
Теорема А
Середина гипотенузы прямо угольного треугольника равноуда лена от его вершин.
Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и начала координат, при котором алгебраичес кие выкладки становятся возможно более простыми. Для нашей задачи удачный выбор системы координат показан на следующем рисунке. Таким образом, начало координат мы помещаем в точку
А, а оси |
проводим через |
точки В и С так, чтобы |
эти |
точки |
ле |
жали на |
положительных |
лучах осей. |
Следовательно, |
В —(а, |
0) |
и С = (0, |
Ь), как на нашем рисунке. |
Поэтому по |
формуле сере |
дины D ~(a(2, bl2). Теперь
